Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

10 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 18. Die Gerade 3 in Figur 4 5a, b, c zeigt neben der Erund 5 ist Verbindungsgerade zweier weiterung in Antwort 7 auch einen
Berührungspunkte, also besitzt sie eine wichtigen Unterschied in der Lage
Strecke innerhalb der Kurve im einen d e s P o lp u n k t e s P zur Kurve.
und eine Strecke außerhalb der Kurve Berücksichtigt man nämlich die
im andern Winkelraum des Tangenten- Eigenschaft der vier harmonischen
winkels. (Vergl. Fig. 4a mit 5c, oder Strahlen aus E bezw. F in Fig. 4
4a mit gleichem Tangentenwinkel E und und 5, daß immer zwei zusammenveränderter Kurve, wenn diese etwa als gehörige (hier die beiden Tangenten)
Hyperbel die Tangenten EB und EC in durch das Paar der beiden andern
denselben Berührungspunkten beiderseits innen und außen getrennt werden,
außerhalb berührte.) Liegt also das im so ergibt sich: Während einerseits
Inner l der Kurve liegende Stück von der Innenraum der K u rve zu3 im g 1 e ic h e n Winkelraum mit p, s a nmmn e m i t der Beriührungsalso 3 innen und p sch n e i d e nd, so sehne 3 bezwo 4 in einem beliebigen
wird 3 von 5 erst in der Verlängerung der beiden Winkelräume der
a u ß e r h a 1 b der Kurve geschnitten, T a n g e n t e n EA, EC bezw. FA,
liegt dasselbe Stück von 3 aber im u n- F liegen kann, müssen andrerseits
gleichen Winkelraum mit p, also 3 die andern zugeordneten Geinnen uId p außerhalb, so wird 3 raden p und 5 in E bezw. p und
von 5 i n n e r h a 1 b der Kurve ge- 6 in F je in zweierlei g e
schnitten t r e n n t e n Winkelräumen liegen,
d. h. jeweils entweder p außen und
Erll. 19. Dieselbe Beziehung wird dann 5, 6 nach innen (Fig. 4), oder
in ihrem zweiten Teile ganz selbst- p innen und dann 5 und 6 nach
verständlich durch das Auftreten der fir außen (Fig. 5). Man erkennt hieraus
eine schneidende Gerade p erscheinenden die Erscheinung an Fig. 4 und 5
Geraden XP und YP, welche nur einen als keine zufällige, sondern als eine
äußeren Punkt zum Schnittpunkte wesentliche: Für eine ä u ß e r e Geerhalten können. Jedoch muß man Wert rade p nämlich muss der Pol P
darauf legen, solche Beziehungen nicht als Schnittpunkt von 3 und 5 bez,
aus speziellen Erscheinungen, sondern 4 und 6 i n n e r h a 1 b der Kurve
aus den allgemeinen Beziehungen ab- liegen, für eine schneidende
zuleiten, wie oben geschah. Gerade p aber muß der Pol als
Schnittpunkt derselben Geraden
außerhalb der Kurve liegen.
Frage 9. Welche Veränderungen
erfahren die Figuren 4 und 5,
wenn die Gerade p selbst zur Antwort. Denkt man sieh die
Tangente der Kurve wird? Gerade p in Fig. 4 und 5 selbst
als Tangente der Kurve, (etwa
Erkl. 20. Wenn man auf die All- in der Nähe des Punktes A) so
gemeinheit der Durchführung verzichten fällt von den beiden Tangenten
wollte, so könnte man für die vorige der Punkte E und F je eine selbst
und die nebenstehende Antwort gemein- in p hinein; statt des Vierseits entsame Erörterung herbeiführen durch steht ein umgeschriebenes Dreiseit
Betrachtung der vier etwa auf der mit doppeltzählender Seite EF=
Geraden 3 als Schnittpunkte mit den EAB=FAD BD =p=2, denn ihr
vier harmonischen Strahlen EA, ED, p, B er ü h r u n g sp u n k t A wird
5 erzeugten vier harmonischen Punkte. zum gemeinsamen Berührungspunkt