Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorischenl Gebilde. 147
A1 A,-, der andere innerhalb der beiden B1 B2,. Also liegt der eine OrdPaare B B.), C1 C2. n u ng s p u n k t zwischen Bi B9, der
Erkl. 261. Von den Punktinvolutionen andere salt den i t t e 1 p i n k t
ohne Ordnungspunkte in Figur 65, 67, 69 der Reihe außerhalb A1 A2, und
sind ebenfalls je drei Punktepaare vor- zwar in Figur 66 rechts von Al.
landen. Bei dieser Involutionsart kann W Teitere Behandlung der Transdie Lage de P nkte g nicht anders versale am Viereck erster Art ist
die Lage der Punkte gs au nicht mehr erforderlich, denn
sein als so, daß jedes Paar jedes andere auch ncht nehr erforcerie den
Paar trennt; und jedes Paar schließt den eJberschreitung e i e r weiterer
Mittelpunkt in sich, so daß stets ein Ecke z. SB bringt wieder Figur 65
hervor, und Ubersehreitung der
Punkt jedes Paares auif dem einen, der llervo, und l berschreitung z ier
anIdere Punkt auf dem anderen HIalbstrahl zwei Ecken S untcld S1 fiihrt zuriick
der involutorischen Reihe liegeen mß. auf Figur 64.
7f Ebenso brauht man beim
Daher missen von den sechs vorhandenen 7) Ebenso braucht lan beim
Punkten der Reihe auch drei auf der Tereck zweiter Art (Figur 67
einen und drei auf der anderen Seite bis 69), wobei eine Ecke innerhalb
zwe dischen den addes Dreieeks der drei anderen liegt,
des Mlittelpuiilktes liegen, also der Mittel- es Dreiecks er rei aneren liegt
punkt zwischen den beiden innersten der tlic n eine Lage
sechls Punkte: A B inl Figur 65, A.1 B Transversalen zu untersuchen, um
in h7, n 2, in FiAm, b9. diean (köitei dann die erhaltene Involutionsart bei
nunmehr noch frage, wo bei diesen drei ler bersreitng einer Ecke
jeder Ubersehreitung ether Eeke
inmtehr nich 1lelRl eien odi e ee p kte mit der anderen zu vertauschen.
involutoriscenReihen die Z Pote1nzpankte In Figur 67 läuft die Schneidende
welche beiderseits gleichen Abstand vomte
Mittelpunkt haben und daher die kleinste derselben Seite liegen hat. Die
Strecke aller Piunktepaare zwischen sich gleichlaiufendIe Reihenfolge der
einschließen. Die Lage dieser Punkte Buhstaben in tl und t undl die
lißt sich ohne Einzelkonstruktion nur Lage der Punktepaare zeigt, daß1
nach dem Aulgeinmaß abschätzen iund fällt her ene Punktivolution ohne
inFi'6 uge0Ordnungsppunkte entsteht, denn
in Fiu 65 Ugefähr mit C C zus, das P nktepaar Au n trent nt deas
in Fi-gur 67 einerseits zwischen B C s P ktepaar A A trennt das
Paar C C,, iund jedes dieser beiden
anderseits zwischen B C2, in Figur 69 ar un es dieser beien
ziemlic nahe bei A1 A, nlic ie- wird wieder getrennt durch B1 B2.
halb Ali nd außerhalb A~.mlic ine Der Mittelpunkt dieser Reihe liegt
also innerhalb der Strecke A2 B.
Erkl. 262. Als besondere Einzelfälle 8) Geht die Transversale durch
sind in nebenstehender Antwort bereits eine Ecke, so entsteht wieder eine
erwähnlt das Hindurchgehen der Trans- u n e i g e n t 1i c h e I n v o 1 u t i o n inversalen durch eine Nebenecke oder folge des Zusalmmenfallens der
durch eine Haauptec ke des Vierecks. Endpunkte von jedem der drei
In beiden Fällen liefern die beiderlei Punktepaare. -- Übersehreitet die
Vierecksarten (konkave und konvexe) Schneidendcle e e die E in igur 68,
jeweils ibereinstilmmendes Ergebnis. In so vertauschen die Seiten S2 A2 und
der Nebenecke nämlich entsteht infolge S2 B2 ihre Lage beiderseits von
des Zusammentreffens zweier Gegenseiten- S, C2, also rückt AS aus CI C2
schnittpunkte ein Ordnungspunkt der hinaus und B2 in Ct C2 hinein, das
Involution. In einer H-auptecke laufen Paar A1 A, umschließt C0 C2 und
je drei von den sechs Viereckseiten zu- dieses wieder B1 B2: Die Involution
sammen, also fallen dort auch die Schnitt- ist eine solche m i t r d n n g s -
punkte, nälilich je einer von jedem punkten; der eine derselben liegt
Gegeniseitenpaare zusam-men, und die drei innerhalb B1 B2, der andere saimt
außerhalb lieg'enden Punkte sind alle dem M i t t elp u nk t der Reihe
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