Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorisehen Gebilde. 145
Erkl. 258. Bei den drei Viereeken und Bt, von den Ordl n u ig sder Fig'uren (64 bis 66 liegen die vier punkten liegt der eine zwischen
Eckpunkte so, daß wenn man dieselben Ai und A., der andere zwischen
durch einen einfachen Geradenzug oder C1 und C2.
in einfacher Aufeinanderfolge verbindet, 3) Denkt man sich n n diese
ein konvexes Viereck entsteht, oder ein Transversale (Figur 64) um einen
iibeirschlagenes Viereck, k einenfalls ihrer Punkte, z. B. um A., nach
aber ein konkaves Viereck mit ein- oben gedreht oder statt dessen tum
springendem Winkel. Bei den drei ihren unendlich fernen Punkt geVierecken delr Fignuren 67 bis 69 aber dreht, d. h. parallel verschoben, oder
liegen die vier Eckpunkte so, (laß, wenn auch beiderlei Ortsveränderungen
man dieselben in einfacher Aufeinander- unterworfen, so bleibt die obenfolge durch einen Geradenzug verbindet, genannte Art der gegenseitigen
stets ein konkaves Viereck, d. h. mit Lage der Punktepaare ungeändert,
einspringendem Winkel entsteht. Man indem nur ihre gegenseitigen Abkann daher auchl das Viereck der eristen stäinde wechselnde Größe erhalten;
Art kunrzweg als k o n vex es V i e eck also bleibt auch die Involution eine
bezeichnen, weil unter den in seinem voll- I n v o 1 u t i o n i t O r n u n g s -
ständigen Viereck enthaltenen drei ein- plunkten, so lange die Transfachen Vierecken neben den zwei über- versale beim Viereck erster Art
schlagenen Vierecken auch das einzige alle vier Eckpunkte des Vierecks
konvexe Viereck auiftritt. Und das auf gleicher Seite läßt. Geht
Viereck deri zweiten Art kann mani dabei die Schneidende durch die
als konkaves Viereck bezeichnen, Nebenecke C,34 des Vierecks, so
weil von den in seinem vollstilndigen fallen die Schnittpunkte der GegenViereck enthaltenen drei einfachen Vier- seiten Si Ci und S.,C- in denselben
ecken jedes ein konkaves Viereck, d. 1i. Punkt C3 i zusammen, und C 34 wird
ein Viereck mit einspringendem Winkel ein Doppelpunkt oder Ordnungsist. Beim vollstindigeni Vierseit tritt punkt der Involution. Und nach
solc'.e Unterschleidung nielht auf, denn dem Durchgang der Transversalen
unter den in einem beliebigen vollständigenl durch den Punkt C3 1 vertauschen
Vierseit enthaltenen drei einfachen Vier- bloß die Punkte des Paares Ci C2
seiten befindet sicl jedesmal ein kon- ihre Benennung, nicht aber ihre
vexes, ein konkaves und ein ibeirschliageenes Lagebeziehung zu den anderen
Viereck, wobei alle sechs Eckpunkte des Punktepaaren B, B. bezw. A1 As.
vollständigen Vierseits je zweimal als 4) Riickt die Transversale aber
Ecken auiftreten. durch einen der Viereckspunkte, z. B. B: in Figur 64 hinErkl. 259. Von den vier Eckpunkten durch, so daß sie in die Lage der
eines beliebigen Vieiecks, ob erster oder in Figur 65 gezeichneten Sehnittzweiter Art, köunnen zu beiden Seiten geladen kommt, so hat sich die
eeier Geraden liegen: 0 und 4 oder g'egenseitige Lage der Plunktepaare
1 und 3 oder 2 und 2 oder 3 iid 1 verändert, indeml die zwei äulßeren
oder 4 und 0, D)a der erste und fiinfte der drei Viereckseiten durch B3 ihre
sowie der zweite und vierte Fall gleicl- Lage zur mittleren gerade verbedeutend sind, so liat iiman dreierlei tauschen. Der Schnittpunkt A, der
Fi'lle zu unterscheiden; und diese sind Seite A1 BS Bl. rückt dadurch auf
dargestellt mnit 0 und 4 in Figur' 64 bezw.. die entgegengesetzte Seite der
67, mit 1 und 3 in Figur 65 bezw. 68, Schnittpunkte B miit Si B. und C.
mit 2 und 2 in Figur 66 bzw. 69. Die mit S-B3: Daher liegt jetzt ein
nebenstehende Erörterung zeigt, daß der Punkt des Punktepaares A1 A2
erste und dritte Fall fil' die vorliegend(e innerlhalb des Punktepaares BiB 13
Sachls, Projektivisehe (iineere) (Tieomietrie. II. Teil. 10