Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

134 Projektivisehe (neuere) Geometrie. III. reil.
Erkl. 237. Setzt man bei den beiden letztgenannten Arten der Strahleninvolution statt des Tanlgentenproduktes der Winkel von n dlas lKotanglentenprodukt
der Winkel von u' an, so wird in Fig-ur 60 < (u p) == 45~, (n a') -900, also
(u'p) - 450, (iu' p') 1350 bezw. (u'p')= -45, also ctg (u' p). ctg (u' p')- -1. Wird
dann auch gesetzt ctg (u' a). ctg (i' a') - -1, so folgt ctg (nu a') = - t - =-tg (u'a),
tg (ui' a)
also (u' a')) 90~ + (u' a) für stampfen Winkel (11' a), oder (ui' a') (u a) 900 füri
spitzen Winkel (u' a'). Beides bestätigt Figur 60. In Figur 61 dagegen ist
< (ux) =45, (ii u) = 900, also (nu x) = 45 und ctg2 (' x) =. Setzt man also
etg (ii a). etg (i' a') = 1, so folgt wieder c(tg (u1' a:) - tg, = tg (u1 a), also
(u'aQ =- e~-tg ((u'u) a)
< (ii a') = 901 - (ii' a).
Erkl. 3. Ü38. berträgt man die Winkelmessungen in den beiden vorgenannten
Fällen von den Aussgan-gsstrahlen u bezw. u' auf die Ausgangsstrahlen p bezw. p'
und x bezw. y, so ist im ersteren Falle (Figur 60) < (u a) -- (u p) + (p a),
< (u a') = (p) (p a'); also ergibt die Beziehung (ui a)- 900 + (u a) die folgende:
(u p) + (p a')= 90~ + (iu p) + (p a). Hier fallt (u p) beiderseits weg, und es bleibt
(p a')= 90- - (p a), d. hl. p, p' haben dieselbe Beziehung als Axenstrahlen, w\ie u, u';
und ferner 90~ —(pa')-(pa) (pa0)+(app)-(ap)+(pa')) (aa'). - Fiür Figur 61
ergibt sieh ebenso < (ui a) = (u x) - (x a), <( (ii a) = (u x) + (x a'), also liefert die
Beziehung (iu a') 900 - (u a) die folgende: (u x) + (x a') 90~ (u x) - (x a).
Hier fällt (ux) nieht weg, sondern verdoppelt silh links, so daß 2 (ux) +(xa') +(xa)
900. Nun ist aber (ux) 45~, 2 ( x) -90~, also bleibt (x a') (x a) - 0
(x ')=- (x a).
Erklo 239. Die Strahleninvolution naclh Figur 60 kann nach ldem bisherigen
auf vier verschiedene Weisen erzeugt werden. In obiger Antwort gesehieht es
durch Festsetzung des Wertes - 1 für die Potenz. Gleichbedeutend ist
zweitens die Zusammenlegung zweier kongruenten gleichlaufenden Strahlenbischel. mit senkrechter Lage eine s beliebigen und folglich j ed e s zugeordneten
Strahlenpaares. In Figur 53 entstand dieselbe Strahleninvolution drittens durchil
Projektion der auf der Axe des Kreisbüschels H K ausgesclhnittenen Punktinvolution
aus dem einen der festen Punkte H oder K. Eine weitere, also vierte lErzeugiingsweise ebenfalls mehr geomletrischer Natur ergibt sich aus der Tatsache des Satzes 25,,
daß ein involutoriselhes Gebilde bestimmt ist durch zwei willkürlich ausgewütillte
Elementepaare. Man wihle niimilich zur Bestimmung einer Involution zw ei Paare
senkrechter zugeordneter Geraden: dann miissen jedenfalls die Schenkel des
einen rechten Winkels diejenigen des anderen innen und außen tlennen, also
entsteht eine Involution o h ne 0 r d n u n gs e l e e n t e; und da die Strahlenpaare
beide senkreclt zu einander stehen, so kann man das eine als iiu', das andelre
als a a' bezeichnen. D1ann ist jedenfalls
to' (u a)
tg (ii a) tg (u a') - tg (u a) tg (ii a + 900) - tg (i a). - tg ( a) -.
tg (ii a)
Folglich hat man die in obiger Antwort 8 behandelte Art der Strahleninvolution
mit Potenzwert -1.
Erkl. 240. Ebenso erhiilt man vier vers ch-ieclene Entstehungsweisenl füir die
Strahleninvolution nach Figur 61. In obigeri Antwort geschieht die Bestimmung
durch Festsetzunig des Wertes + 1 für die Potenz der Involution. Gleichbedeutend ist zweitens die ZusammenlegungIg zweier konTruenten ungleielhaufenden Stralhlenbischel: dabei erscheinen der in beiden Biisceln zur Deckung
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