Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

130 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
zu u senkrechte u1. Mißt man die gepaarte Punkt M' bezw. P' unWinkelgrößen von diesem Strahle u' aus, endlich fern, sondern auch zu
unter Berüiicksichtigung des Zusammen- jedem anderen Punkte der Reihe
fallens j edes zugeordneten Strahls a' ist der unendlich ferne Punkt zumit u, so wird geordnet, weil die ganze äuße re
ctg (u' a). ctg (u' a') = ctg (ul a) ctg (u1 u) Strecke der Punkte X Y bezw. MM',
c= tg (u' a). ctg 90~ - 0. innerhalb welcher sonst der eine
Man kann also dem Strahle u', obwohl Punkt jedes Punktepaares liegen
er nur einer von den vielen zugeordneten muß, in den unendlich fernen
Strahlen ist, dennoch die Eigenschaft Punkt zusalmmenschrumpft. Auch
als zweiter Axenstrahl zuschreiben, da M A M A' —+c00 kann nur erfiillt
weTen dces rechten Winkels zu u das werden, wenn einer der Faktoren
Produkt der Kotangenten der von u' unendlich großen Wert hat; der
aus gemessenen Winkel inumer noch gleich andere Faktor kann dann beliebigen
bleibt dem Produkt der Tangenten der Wert besitzen.
von u aus gemesselnen Winkel. Uimge- 6) Man erhält also für Potenzkehrt erhält man werte von der Größe Null oder
tg (u' a). tg (u' a') =tg (u' a). tg (u' U) n endlich involutorische Gebilde,
tg (u' a). tg 900 =-, bei welchen die Eindeutigkeit
und da 0 und 00 reziproke Werte sind, d e r Z u or dn n g verloren gegangen
so mnüssen für die beiden Axenstrahlen ist: alle Elemente des Gebildes
stets beide Werte wechselseitig zusammen sind zu einem einzigen Element,
auftieten. Man erhällt also den dieses einzige Element zu allen
Satz: Wird für irgend einen Strahl anderen zugeordnet. Dieses eineines Biiscels als Axenstrahl das zige Element ist bei der P unktTangente nplrodukt der involutorischen reihe die Nullstrecke zwischen
Beziehung gleich Null, o asot- der zusatmm enfallenenn Ordnungsgentenprodukt gleich unendliclh, soen e. Potzpu ten
sincl alle Str alhlen des Biiscehels zui
sind alle Strahlen des Büschels zuwelche entweder im Endlichen liegt
diesem einzigen zugeordnet; wird füih rd dann auch den Mittelpunkt in
irgend einen Strahl als Axenstrahl dassch enthält, ocer im Unendliche
Taingentelnpro ltdkt gleich unendclichllet und dann elen beliebigen
ocer dcas Kotangenteiprodn lich Punkt im l Endlichen als Mittelpunkt
haben kanno Bei deim StrahlenNull, so sind alle Str ahlen des Büschels haben kann. Bei dem Strahlenzu dem Norm alstrahl jenes Strahls Ubiislchel ist jenes besondere Elezueo dnet je- s mrient der Nullwinkel zwischen
den zusaL mmenfallenden Ordnung'sErhl..233. 6 Der vorige Satz zeigt, strahlen bezw. Potenzstrahlen, unter
daß fiir den involutorischen Strahlen- deren beliebig vielen zugeordneten
bisellel die beiden Po.tenzwerte Nll Strahlen jedenfalls auch der dazu
und unendlich zur gleichen neuen Art senkrechte Axenstrahl sich befindet.
von Involution führen. Anders ist
dies bei der Punktreilie. Der Potenz- C ' A' X A B C
welt N u 11 zwar liefert als ein- -, — +- ~deutiges Ergebnis die neue Art der
Involution. Der Potenzwert Unendlich Figur 59.
aber liefert bei der Punktreihe dreierlei
Unters(cheildung, eigentlich sogar viererlei, 7) Ist bei einer involutorischen
woraus aber nur zweierlei verschiedene Punktreile die Poteiuz unendlicl,
Erg;ebnisse entstehen: also der M i t te 1 p u n k t samit denl
a) Iat man eine Punktreilhe o lne einen Ordcnungsp-unkt im Ui, —
0 r d nuln g s e 1 ein le nt e, so klomnen in endlichen gelegen (s. o. 5), so liect