Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

128 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Frage 61. Welche Besonderheiten bezw. Spezialfälle von Antwort, 1) Da bei positiver
involutorischen Verwandt- Potenz eine involutorische Verschaften können durch besondere wandtschaft mit OrdnungselemenEinzelwerte der Potenz auf- ten, bei negativer Potenz eine
treten solche ohne Ordnungselemente auftreten muß, so erhält man eine
Erkl. 228. De hivoltorisele Ver- d a z w i s ch e i 1i e g e n d e Art von
228. Die mlvolutolisele Ver- dazwischenliegende Art von
wanltsclhlaf't in einier Punllktreihe odere
watschaft i einer Pnktreihe oder involutoriseher Verwandtschaft,
einem Strahleniiischel ist jedenfalls festwenn der Wert der Potenz -"wischen
gelegt durch ein beliebiges Anfangs- ee beide re eeten sh
Wert cdiesen beiden Größengebieten steht,
element und den Wert der Potenz, also den Wert +- Null bezw. +- unalso durch Punkt M und +-k- oder durch enli annimmt.
X und Y oder P und P' bezw. durch u, u'
undcl k2 oder durch x und y, oder p und p'. 2) Ist bei der involutorischen
Auf der Punktreihe sind alle Punkte Punktreihe MX2-O bezw. MP. M P'
gleichwertig bis auf den unendlich fernen, =0, so muß Punkt X (also auch Y)
welcher als einziger besondere Eigen- bezw. P (also auch P') mit Punkt M
schaften aufweist, bei dem Strahlen- zusammenfallen. Zwischen X
biischel sind sämtliche Strahlen olhne und Y bezw. zwischen P und P' ist
Ausnahme gleichwertig. Daher wird es aber von jedem Punktepaar stets
allein der W e rt de r P ote n z sein, der eine Punkt enthalten, also
welcher Veirschiedenheiten der involu — muß bei verschwindendem Werte
torischen Verwandtschaft hervorbringt; der Potenzgröße von je(1 e m
und zwar sind die Potenzwerte Null, Punktepaar der eine Punkt in
unendlich unid -+ 1 diejenigen, welche den Punkt M hineinfallen; bezw. zu
besondere Beziehungen entstehen lassen, j e cl e sonstigen Punkt der
letztere inr beim Strahlenbischel, erstere Reihe ist der Punkt M der zugebei beiderlei Gebilden, wobei noch in ordnete. Dasselbe geht auch hervor
der Punktreihe die unendiclich ferne Lage aus der Gleichung M A. M A' =-0:
eines Ausgangselelnentes Beriicksilchtigung auch hier kann der Wert 0 nur
erfordert. entstehen, wenn der eine der beiden
Erkl. 229. Nicht nur diirch dcie Faktoren gleich Null wird. Der
rechnende Behandlung aus dem Grenz-andere Faktor bezw. die andere
werte der Potenz gelangt man zu der i Strecke knn dn bezweiten Absehnitt nebenstehender Antwort1 e b i g en e rt annehnen.
erirterten besonderen Art einer involn- 3) Ist bei dem involutorischen
torischen Punktreihe, sondern auch aus Str a hlen 1 n schel tg2 (u x)-0 bezw.
der Figur 52 (S. S. 115) erhält maan die- tg(up). tg(up') =0, so lmuß wegen
selbe Besonderheit, wenn man niimllich der Tangentenfunktion auch < (ux)
die Senkrechte t dulrch einen der festen -(u y):0 bezw. <t(up) ( pi) O
Punkte H (oder K) des Kreisbsiishels werden folglich imuß Strahl x (also
hindurchgelen liäßt. Dann fallen MXY auch y) bezw. p (also auch p') mit
bezw. MIPP' mit Ht (bezw. K) zusammenl u zusammienfallen. Zwischen x
und jeder Kreis des Kreisbiisehels hat und y bezw. zwischen p und p' ist
dann den einen Sclnittpunkt in diesem aber von jedemi Strahlenipaar
Punkte MIH, den anderen beliebig sonstwo stets der eine Strahl enthalten,
auf t, einer der Kreise durch H und K also muß bei verschwindendenm
betihrt tII in I-=X, der kleinste aller Werte der Potenzgröße von jedem
Kreise ist der Nullkreis -1 selber, Strahlenpaar der eine Strahl in
wel.Ther P und P' in H zusammenfallen den Strahl u hineinfallen; bezw. zu
läßt. jedem sonstigen Strahl des