Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Polpunkt zu einer gegebenen Geraden. 7
Erkl. 12. Während die Figuren 4a, b Antwort. Da die Lage der Punkte
für eine die Kurve nicht schneidende E und F auf p für die Bestimmung
Gerade p durchgeführt waren, geben die des Punktes P völlig willkürlich
Figuren 5a, b, c, die Darstellung für ist, so muß unter anderm auch für
eine die Kurve schneidende Gerade p. jeden beliebigen Punkt Z auf
Daher treten hier neu auf die Kurven- p die vierte harmonische Gerade
schnittpunkte X und Y. Der Unter- zu p und den beiden Kurvenschied der Figuren 5a, b, c beruht allein tangenten aus dem Punkte Z
in der Lage der Punkte E und F auf durch den festbestimmten Punkt
p in Bezug zur Kurve. Liegen E und F P hindurchgehen. Da dies für jede
auf verschi e d e nen Seiten der Kurve, beliebige Lage des Punktes Z auf
so entsteht unter gleicher Unter- p gelten muiß, so trifft es auch zu,
scheidung wie zwischen Fig. 4a und b das wenn Z sich einem der K u r v e numgeschriebene oder das angesehriebene sch nitt p u n k t e von p immer
geschlossene Tagentenvierseit der Figur niehr nähert; dabei reüken aber
5a oder 5b mit Kurve im Außenraum die Tangenten EA uLnd ED bezw.
FAE oder im Innenraum AFCE; liegen FA und BF imrmer näher zusammen
aber E und F auf gleicher Seite der und schließen dabei doch die
Kurve, so entsteht das angeschriebene Gerade EP 5 bezw. FP -'6 stets
iiberschlagene Tangentenvierseit der noch zwischen sich ein.
Fig. 5c mit IKurve im Außenraiumn AEC p Fällt also der veränderlich geoder auch im Innenraum BEDF. Alle vollends mt e
drei Tierecksarten treten also schon für de urvernscnittpunkte Xi bezi.
der 1uirvensehnittpunnkte X bezw.
die eine Ellipse schneidende Gerade p Y auf der Geraden p (von außen
auf, ebenso Figur 5a und c für Parabel heranrückend) zusammen so gibt es
und Hyperbel. durch ihn keine zw e i g e t r e n n e n
Tangenten mehr an die Kurve,
Erkl. 13. Fir einen Punkt Z auf p sondern nur noch eine; und
unmittelbar au 1 e r 1 a 1b X hat manl noch z w i s c h e n den so in eine Doppelzwei getrennte Tangenten und dazwischen gerae usamenfallenden beiden
als vierte harmonische zu p und der-
als vierte harm he zu p inEinzeltangenten verlauft noch die
selben die Gerade ZP. Der Winkel viert h rm onische Gerade
AED in Fig. 5a und 5b wird im Punkte zu p, nämli die VerbindungX zu Null, während sein Nebenwinkel gerade XP bezw, YP. Nun haben
ein gestreckter wird; ebenso wird aber diese Geraden XP und YP
Punkte Y der Winkel AFC in Fig. 5b als Verbindungsgerade zweier festen
und 5c zu einem gestreckten, wthrend Pne ene ga bestimmte Lage,
sein Nebenwinkel AFB in Figur 5b zu während über di Lage der
Null wird. Und innerhalb dieses Null- angenten aus P an ie Kurve
winkels liegt die vierte harmonische keinerlei Bestimmung vorliet;
Gerade 5 bezw. 6. Dasselbe Zusammen- daher folgt umgekeht aus er
fallen folgt unmittelbar aus der am vorge Ueberleun das wichtige
Schlusse der Antwort 3 genannten Ergebnis, daß di e s e Tangenten
Eigenschaft der harmonischen Beziehung, zusammenfallen müssen mit den
daß wenn von vier harmonischen Verbindungsgeraden XP
Elementen (hier Strahlen) zwei zusammen- bezw. YP von den Kurvenschnittfallen, dann auch ein drittes dazukommt, punten X bezw. Y auf p na cl
Hier hat man für E bezw. F die ge- dem Polpunkt P.
trennten Elemente EA, ED, p, 5 bezw.
FA, FB, p, 6. Wenn also EA und ED Somit erfährt die Aufzählung der
bezw. FA und FB zusammenfallen, und in Antwort 5 genannten, durch den
zwar n i c h t mit p, so muß unbedingt Polpunkt gehenden Geraden noeh