Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

120 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 212. In Figur 53 gilt als gegeben die involutorische Reihe
M 1 AA'BB4'EE' PP.. Und zwar ist dies in der Zeichnlung, soweit in Figur 52 I
und 53 dieselben Buchstaben auftreten, auch genau dieselbe Reihe, d. h. die gleichbenannten Punkte beidemale in gleichen Abstätnden. Dabei wird aber in Figur 53
t angesehen als Zentrale aller Biiselelkreise. Es fallen also in dieser Zeichnun0g die
Punkte I, J, N in den einen Punkt M zusammen; der Kreis L K L'H mit Mittelpunkt N fällt mit dem Kreis P K iP'IHI zusammen in den Halbkreis über P P'. In
Figur 52 I ist nur ein einziger Büschelkreis, für welchen t Durchmesser ist: derselbe
hat seinen Mittelpunkt im Schnittpunkt von JN mit t, etwa im Punkte B; in
Figur 53 haben sämtliche Biischelkreise die Gerade t als Diurhcliesser. Daher
erzeugen in Figur 53 gleichgroße Kreise beiderseits M K auch symmetrisch liegende
Punktepaare beiderseits M, in Figur 52 I aber gehören zu gleichgroßen Kreisen
nicht symmetrische Punktepaare, und umgekehrt zu symmetrischen Punktepaarenl
nicht gleiche Kreise. - Daß aber Halbkreise, welche liber involutoiisch zugeordneten
Punktepaaren einer Punktreihe gezeichnet \werden, sämitlich cl mselben Krieisbiischel
angehören missen, folgt aus dem in vorstehender Antwort gefiihrten Beweise, daß
die auf dem Durchmesser t senkrechte Halbselhe IM K fiir alle Kreise dieselbe sein lmuß.
Erkl. 213. Die besondere Wieltigkeit der Figur 53 liegt weniger in der
Eigenschaft der H-albkreise selber, als in der Beziehung der Punktreihe zu dem
involutorischen Bischel mit Scheitel K. Die Besonderheit dieser Art von Bischell
wird später noch besonders behandelt. Der in obiger Antwort ausgesprochene Satz
aber zeigt keineswegs eine Eigentüimlichkeit bloß der invol0utorische n Punktreihen,
sondern bildet nur die Wiederholung eines auch fii c i ht involutorisch liegende
Punktreihen auf gemeinsamem Träger bereits in Erklärung 306 des I. Teiles nachgewiesenen Satzes. Dort war gezeigt, daß auch beliebig liegende gleichlaufende
projektivische Punktreihen ohne Doppelpunkte auf gemeinsamem Träger stets projiziert werden können (lurch zwei kongrluente gleichlaufende Strahlenbüschel in
vereinigter Lage. Dasselbe ist aber in Figur 53 eingetreten. Denn' faßt man die
Strahlen von K nach den Punkten EC' P B A der Reihe nach als Strahlen eines
ersten Büschels auf, so sind die Strahlen von K nach den gepaarten Punkten
E CP'B'A' die entsprechenden Strahlen eines zweiten Bischels; und da die Punkte
E' C'P B A und E C P'B'A' zugeordnete Punkte zweier piojektivischen Punktreihen
auf gemeinsameln Träger in involutorischer Lage sind, so ist auch das erste Biischel
projektivisch zum zweiten. Da aber die Winkel E'K E C' K C-P' K P-B KB'
=A K A- 90~, so sind auch die Einzelwinkel E' K C'- EK C, C' KP —CKP',
PKB-P'KB', BKA=B'KA' u. s. w. Demnach besagt der Satz im sechsten Teile
obiger Antwort genau das Gleiche, wie der Satz in Erklaärung 306 des I. Teils.
Erkl. 214. Die Lage des Punktes K, aus welchem die beiden projektivischen
Reihen durch kongruente Biischel projiziert werden können, ist in Erklärung 306 des
I. Teils bestimmt durch den Abstand,/F2IMl.M1Mil, wobei F2 der eine Fluchtpunkt,
M11 der Mittelpunkt beider Fluchtpunkte und Ms der diesem Punkte M1 projektivisch
zugeordnete ist. Werden die beiden projektivischen Punktreihen in involutorischer
Lage auf dem gemeinsamen Träger zusammnengelegt, so werden beide Fluchtpunkte
F2 und G1 zum Mittelpunkt M der Reihe, so fallen also F, G1 Mi in einen einzigen
Punkt M zusammen, und sein gepaarter Punkt M2 wird zum unendlich fernen Punkt.
Daher erhält jener Auscdruck F2 Mi. Ml Msl den unbestimmten Wert 0.00. Und als Wert
dieses unbestimmt werdenden Produktes tritt nun bei der involutorischen Lage beider
Reihen die bestimmte Größe MK =iMP'-I/I A.M A /IM M.MMM 0/(. 00 ein.
In der Tat liefern die Potenzpunkte PP' das einzige gleielschenklige rechtwinklige
Dreieck mit Spitze K; undc wenn K auch mit CO M' verbunden wird, so ist auch