Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

112 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
liegen mßtiten. Und dies gibt eine Strecken der einen Gruppe jeVerkniipfung der projektivischen Geo- weils den Fluchtpunkt der bemetrie mit der Lehre von den imagilnären treffenden Reihe ein, die der anGriißen in der Aritlimetik, welche zu de ren Gru ppe aus. Es ist also
äußerst fruchtbaren Untersuchungen mit bei der involutorischen Reihe ohne
sehr bemerkenswerten Ergebnissen ge- Ordnungspunkte in Figur 51 I,
fiihrt hat. wo A und A' auf verschiedenen
Eril. 201. Sind AA' ulnd B ' zwei Seiten vorl Fluchtpunkt = Mittelbeliebige involutorisch gepaarte Punkte- punkt M liegen, die erstgenannte
paare, so ergibt sich aus den vorien Gruppe der in beiden Punktreihen
Uberlegungen, daß bei cer inolutorischen vorhandenen gleichen Strecken zur
Reihe ohne Ordnungselemente das PaarDeckung gelangt welche den FluchtAA' durclh BB1' innen und außen punkt einschließen. Bei der
get rennt, bei der involutorischen Reihe involutorischen Reihe mit Doppelmit Ordnungspunkten dagegen ni cht punkten aber in Figur 51 II, wo
getrennt liegen muß. Ist anämalichl i A und A' auf gleicher Seite vom
Figur 51 I A und B rechts von M, und FluchtpunktMittelplnktM liegen,
zwar A näher bei IM als B, also e zweite Gruppe der in
so folgt wegen des negativen konstaniten beiden Pulktreihen vorhandenfn
Produktes IMiA'IB', ' I und B' links gleichen Strecken zur Deckung gevon MI, tund zwar B1' näher bei M als A'. langt, d. h. jedesmal die eine Strecke
Die Reihenfolge der Punkte ist also u- mit vertauschten Endlpunkten auf
bedingt von links nach rechts A'B'MAB,die gleicbgroße aufgelegt
also A A' innen und außen getrennt durch 6) Von den Streeken der ersten
B und B'. -- Ist aber in Figur 51 II rt ist die kleinste die Strecke
ebenfalls A und B rechts von IM, und zwischen den Potenzpunnkten P QL,
wieder A niher bei IM, als B, also MA<IB, welche in Figur 51 1 mit P2 Q 111uso folgt wegen des positiven konstante gekelrt zusammenfallt; Streken
Produkts ilA'>3MIB', A' und B' echtibt es r zeivon allen
von ll, und zwar B' nlher bei M als A'. Größen, von unendlich bis zu Null,
Wenn also A und B die dem Punkte und diese kleinsten $trecken P PL
M näiher liegendel Punkte jedes Paares 0 und QtQ1 =0 in Figur 51 II sind
waren, so muß die Reihenfolge sein den N s k P., P1, bezw.
waen, so muß die Reihenfolge sei in den a ls Ordnungspunkte erM AB B'A', also B B' beide von A A' sceinenden Nullstrecken P, P bezw.
eingeschlossen. Wiären in Figur 51 II Q5Q zur Deckung gelangt. Wenn
iberhaupt A und B auf verschliedener aber irgend eine Strecke in der
Seiten von IM, so miiißten. A' und 1' auf eihe t1 zur Deckung gelangt mit
Reiher t~e beiden kung'it eir gleich
den gleichen Seiten mit ihren zgelie ne der eide t ihr gleiciPunkten liegen, also jedenfalls BB' beide gfroen Strecken in t1, so müssen
von AA' ans geschlossen. auch alle derselben Gruppe angel-hrigen gleichen Streckenpaare
Erkl. 202. Zum gleilhen lErgebnis beider Reihen tl und t, zur Deckung
kann mlan dlurel eine aidere Uberlegung kommen. So sind in Figur 51 I
gelangen, welche ziugleich die Eigenitiimi- M und Moo bezw. P1Q1=PsQ2 dcie
lichkeit des Mittelp unkt es der Reihe grundlegenden gleichen Strecken
noch deutlicher hervortreten latt. Die beider Reihen, in Figur 51 II ebenFigur 51 I gelht in Figur 51 II über falls M und Mci bezw. X-=P1Pi
und umgekehrt, wenn man die Reilie t, =0- P2P., und Y Q QlQ=0=Q2Q2.
um den PLunkt I5M umklappt, d. lh eine Und weil diese besonderen
Drehung um 180~ machen lIäßt. Nunl Streckenpaare aufeinander liegen,
enthällt aber' die Reile t2 die involutorisch liegen alle gleichen Streckenpaare
gepaarten Punkte zu den Punkten lder auf einander.