Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

105 Projektivische (neuere) Geometrie. IIL Teil.
von welchem einander die Gegenseiten 3) Nun ist sowohl ti At, als auch
SC3 ulnd S'D3 in C1, die Gegenseiten tiAt3, folglich auch t2At3. Da aber
S'C3 iiun D3 S in D1 schneiden; und die der den en nei t2 und t, gemeineine Diagonale S S' geht durch X, die same Punkt Y sich selbst zugeordandere C3 D3 durch Y. Also sind X Y net ist, so muß die letztere
und CiD1 vier harmonische Punkte. Beziehung nicht in schiefer, sonErkl. 189. IIn Hinsicht der Lage zu dern in perspektivischer Lage
den beidenr Ordnungselementen XY kn-nn sich lbefinden, also t, st3. Es müssen
man daher jeweils Elemientepaare von also die Verbindungstrahlen entzweierlei Lage unterscheiden: solce, sprechender Punkte von t2 und t3
die das Element X innerhalb iund außer durch einen einzigen cheitel S
halb haben, und solche, die X außerhalb hindurchgehen, der sein, Lage auf
und Y innerhalb haben. Von ersterer cein Projektionsstrahl S X1 X3
dmabens S Xls
Art ist in Figur 48 und 49 das Punkte- haben muß.
paa1r AB1 bezw. das Strahlenpaar SA, SB, 4) Nun bilden aber die Geraden
von letzterer Art das Punktepaar CI D1 SA A S', S'B, B:S ein Viereck,
bezw. das Strallenpaar SC,,SD. Und von welchem zwei Gegenseiten durch
die Beweisführung- nebenstehender Ant- A1 und B1, die Diagonalen durch X
wort fillt fiiür beiderlei Gruppielrung ganz ud Y hindurchgehen, und folglich
gleichartig aus, nur die Figiur zeigt den sind X und Y zu Al und B1 hart nmoniseh gelegen; und daB diese
in voriger Erklärung 188 gezeigten Unter- monisch gelegen; und daß die
schied. Legt man den Träger t3 durch Lagebeziehung nicht nur zu Ai, Bi,
denjenigen Ordnungspunkt, welchen die sondern zu jedem anderen gepaarElenente des gewählten Punktepaares ten Pulktpaare stattfindet laßt sich
ausschließen, so entsteht das konvexe curch abgeänderte Wall der Figur
Viereck SA, S'B3 der Figur 49; legt sofort erkennen. Sind aber die
man aber den Träger t3 durch denjenigen Punkte A, B1 haronish getrennt
Ordnungspunkt, welchen die Elelmenite durch, Y, so sind auch die
des ausgewählten Punktepaares ein- Strahlen S A, SB, harmonisch geschließen, so entsteht das Viereck mit trennt durch SX und S Y Man
einspringendem Winkel C3 S'/Ds an dei- erhält also dle eitere Aussage
selben FigLur. Satz 24. In einem involutorischen
Erkl. 190. Beachtet man, worin der Gebilde, elches zwei Ordnungselemente ' enthalt, wird jedes
Unterschied der Figuren 48 und 49 be- elemente enthält, wird jedes
ruht, so erkennt man folgendes: In Paar zgeordneter Elemente durch
beiden Figuren wird die Betrachtung die Ordnungselement - bezw,
der auf gemeinsamem Träger liegenden werden die Ordnungselemente
Punktreihen tl t2 zuriickgeführt auf die durch edes zueordnete EeBehandlung der Punktreihen t2 ts auf mentepaar harmonisch geverschliedenen Trägern. Während aber trennt.
in Figur 48 die projektivischen Reihen
t2 t3 in schiefer Lage erscheinen und deshalb die Wahl dreier neuen Vermittlunigsgebilde [Sm t4 S2] nötig maclhen, so erscheinen wegen des selbstentsprechenden
Punktes Y die Reihen t2 t in Figur 49 in perspektivischer Lage und machen
daher bloß die Annahme eines e i n z i g e n Vermittlungsgebildes S' nötig. Und
diese einfachere Figur läßt dann das Viereck mit seinen vier harmonischen Elementen
heraustreten.
Erkl. 191. Während die metrische Beziehung des Punktes M Figur 47 und
48 beiderlei involutorischen Punktreihen zukommt, können Ordnungselemente
nur bei der zweiten Art involutorischer Gebilde auftreten, wobei die beiden involutorisch zusammengelegten Einzelgebilde entgegengesetzten Durchlaufungssinn