Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

104 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
daß die Strahlen der Winkel F, S A1, Paares getrennt liegen, so werden
A1 St ClI CI St M, M St Bi, B1 Si Di, die Elemente jedes Paares innen
D S 1 S eF der Reihe nach gepaart sind und außen getrennt durch die
zu den Strahlen doer Wiinkl MS A, Elemente jedes anderen Paares,
A. S1 0C2 C2 S1 ~G, G& S1 B.2 B2 S1 D9, und dieses involutorische Gebilde
D.8 S MI. Ans später hervortretenden enthält k e i n E 1 e r e n t, w e che s
Gründen nennt man die an den Putikt- mit einem gepaarten Elemlent:reihen nd Strahlenbüscheln der Figur 47 zusammenf l ]t.
erscheinendle Art der Involution nach
Satz 23 die,elliptische Invo- 2) Wenn aber u ie beiden Punktlution. reihen t1 t9 in Figir 48 nungleiche
Dur chlauf srihtung en bezw.
Erkl. 186. In Figur 48 kommt zn die Strahlenbüschel S1 (t1) unli St
der schon vorgelnannten Eigentümlichkeit (t2) derselben Figur unglei che
des Punktes M noch linzu die Eigen- Umllaufsrichtungen besitzen, so
tümlichheit der zwei Punkte X und Y, entspricht dem Durehlauf der Innenwelche in beiden Reihen einander selbst streeke A B1 bezw. C1 D1 der entzugeordnet sind. Ihre genaue Lage gegengesetzte Durchlauf derselben
und Bezieihung zum Punkte M wird erst Innenstrecke A2 B, bezw. C, D2, also
durch die metriscle Behandlungsweise muß sowohl zwischen A, und B, als
zahlenmälig festgestellt werden. Aber zwischen Ci und D: ein Punkt liegen,
auchl rein geometrisch haben diese Punkte wo beide Reihen übereinander hinbesondere Eigenheiten aufzuweisen. Und weggehen; und ebenso muß sowohl
zwar kommt illre Eigeintümilliihkeit zu- zwischen S A, uund S B, als zwischen
gleich auch den Strahlen 81 X und S1 Y S8 Cl und St D1 ein Strahl liegen,
des involutorischen Büschels Si zu. Denn wo beide Büiisehel übereinander hindie Besonderheit der Punkte X, Y ist weggehen, es muß also zweimal
nicht wie bei M nur eine Beziehulng zum vorkommen, daß die beiden EleUneondlichen, die bei jeder Projektion mente eines involutorischen Paares
sich ändert, sondern eine Eigensclaft z u s a in in e n f allen: das einemal
zusammnenfallender Punkte bezw. zwischen Ai und Bi, das andereStrahlen, die bei Projektion erhalten mal zwischen Ct und D1 in Fig. 48.
bleibt. Ihrer Wichtigkeit wegen er- Für jedes beliebige Punktpaar bezw.
halten diese Elemente daher besondere Strahlenpaar Ai B, oder Ci Di be~
Benennung, und zwar wird hier bei der steht die Beziehung, daß zu einem
Involution entweder der schon bei be- Punkte der Innenstrecke wieder ein
liebig liegenden Gebilden gemeinsamer Punkt der Innenstrecke, zu einem
Träger gebrauchte Name D op p el- Punkte der Außenstrecke wieder ein
ele 1 cm t e, oder auch zur. Unter- Punkt der Außenstrecke, bezw. zu
secheidung von jenem allgemieinen Falle einem Strahle des Innenwinkels
der besondere Namle O r dcl nung s- wieder ein Strahl des Innenwinkels,
e 1 e e n t e gebraucht. Es sind also zu einem Strahle des Außenwinkels
XY die Ordnungspunkte der invo- wieder ein Strahl des Außenwinkels
lutorischen Reihe t12, 81 X und S Y involutorisch gepaart sein muß.
die 0 r d n u ii g s s t r a h 1 e n des involu- Man erhält also die zweite Tatsache:
torischen Büschels 81 (t19).
toislen Bs s S z 2ao Wenn in einem invoErkl. 187. Verfolgt man wieder lutorischen Gebilde, gebildet durch
streckenweise die Lage der gepaarten Zusammenlegung zweier u n g 1 e i chPunkte in Figtur 48, so findet man die laufenden projektivischen PunktPunkte der Strecken F10 A1, A1 X, XB, reihen oder Strahlenbüschel, die
B1 M, I MCi, Ct Y, Y Di Di F 00o der Elemente eines einzigen Paares
Reihe nach gepaart zu den Punkten der durch die Elemente e i n e s