Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

102 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
langt ist, d. h. ob überhaupt derartige auch das Zusammenfallen von D:
Gebilde bestehen, bei denen sämtliche mit C1 j e d e s m al stattfinden, wie
Elementepaare doppeltentprechend sind. immer C1 und C2 gewiählt waren,
Der nebenstehende Satz 22 gibt die und daher erhält man die wichtige
Lösung des Zweifels, indem er nach- Tatsache:
weist, daß allerdings solehe Gebilde Satz 2.2 Wenn in zwei projekexistieren, indem das Doppeltentsprechen tivisch verwandten Punktreihen
sämtlicher vorhandenen, also unendlich auf gemeinsamem Träger i rg end
vieler Punktpaare schon dadurch unbe- e i n P a ar zugeordneter Punkte
dingt festgelegt ist, daß fir ein einziges doppelt entsprechend ist, so
Punktpaar die Eigenschaft des doppelten sind sämtliche Paare zugeEntsprechens zutrifft. ordneter Punkte doppeltentsprechend, unnd die beiden
Erkl. 182. In Figur 47 und 48 Punktreihen liegen involutoriseh,
sind A A.2, C C2 doppelt entsprechende sie bilden eine involutor ische
Punktpaare der involutorischen Punkt- Punktr ei he.
reihe auf deml Träager t1,2; nach dem
letzten Satze der Antwort 50 sind aber
in beiden Figuren auch S1 AÄ S$ A; S1 Cl, S C02 doppelt entsprechende Strahlenpaare des involutorischen Strallenbiischels S, ebenso A3, 1B3; C,, D3 doppelt eintsprechende Punktepaare der involutorischen Reihe t3, ebenso S3 A3, 83 B3; Si C3,
3 D3 zuggeordnete Strahlenpaar'e des involutorischen St ralhlenbiischels SB, ebenso
A4, B4; C4, D, involutorisch gepaarte Puikte auf t4, und S A", S- B2; S1 C8, S2 D2
involutorisch gepaarte Strahlen des Biischels S8. Man sieht, daß, wo die Beziehungmit zweierlei Indices 1,2 nicht vorhandeni ist, durch den Strichlpunkt (;) die zusammen-egehörigen Paare in der Sclhreiblung voneinander iunterschiecden werden.
Weitere Folgerungen aus dem wichtigen Satze 22 enthalten die folgenden
Fragen 53 bis 56.
Frag'e 53. Welche Folgerungen
ergibt der vorige Satz für involu- Antwort. Man könnte genau dietorische Strahlenb üsche 1 selbe Überlegung, welche in der
Erkl. 183o Da ein Strahlenbtischel vorigen Antwort für Punktepaare
mit Scheitel S, (Figurenl 46, 47, 48) durchgeführt ist, dualistisch iberkeinen unendlich fern liegenden Strahl tragen auf Strallenpaare. Das dabei
besitzt, so ist auch die Untersuchugng entstehende Ergenis muß aber dasder D)trchlaufungsrichtlngen viel einfacer selbe verden, welches auch umittelals bei der Punktreihe. Der Strahlen- bar gewonnen werden kann durch
buischel S, in Figur 47 wird ebenso wie Ubertragung des Satzes 22 selbst
n1Man erhält also füir Strahlenbüischel'
der Strahlenbüschel S, in Figur 46 durch- Man erlalt also fur Strahlenbusel:
laufen bei der Reihenfolge S A" S C, S CL Satz 22a. Wenn in zwei proSi B1, S1 D1 im Sinne gegen den Uhr- jektivisch verwandten Strahlenzeiger, und der Strahlenbiischel SL A2, büischeln mit gemeinsamem Scheitel
SL C0, S1 B1, S1 D2 in beiden Figuren i-geind ein Paar zugeo dneter
ebenfalls im Sinne gegen den Uhr- Strahlen doppelt entsprechend
zeiger. In Fig'ur 48 dagegen hat ist, so sind sämtliche Paare zuder Strahlenbiischel S1 A,,S1 B13, S C1, S D1 geordneter Strahlen doppelt
Umlauf im Sinne gegen den Uhr- entsprechend, und die beiden
zeiger, aber der Büschel St AW, SB13, Strahlenbüschel liegen involuS 0C2, St D, zeigt Umlauf im Sinne mit torisch, sie bilden einen involudemi Uhrzeiger. torischen Strahlenbüschel.