Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die involutorischeni Gebilde. 97
3. Uber die involutorischen Gebilde.
a) InvolutorisCehe Punkttr eillen und Strahllenbtisehel.
Frlage 49. Was versteht man
unter involutorischen Gebilden Antwort. Unter einem involuüberhaupt? torischen Gebilde versteht man
ein auf gemeinsamem Träger
Erkl. 173. Projektivische Gebilde zusammengelegtes Paar zweier proköinien auf gemeinsamem Träger sehr jektivisch verwandten Gebilde,
verschieden liegen; dabei unmß jedes die in der besonderen gegenseitigen
Element des Tragers dopp elt aufgefaßt L a g e b e ze g sih i efinden,
werden: einmal als Element des ersten daß einem bestimmten Elemente
Gebildes, dann als Element des zweiten dieses Trägers dasselbe zweite
Gebildes; und zwar wird infolge der Element des Trägers zuprojektivischen Verwandtschaft einem geordnet ist, einerlei ob man
bestimmten Elemente aufgefaßt als das erste Element als zum einen
Element des einen Gebildes, zugeordnet oder zum anderen Gebilde zugehörig
ein bestimmtes zweites Element des auffaßt. Man spricht daher statt
gemeinsamen Trägers, aufgefaßt als von z w ei er 1 e i G e b il d en in inElement des anderen Gebildes. Wird volutorischer Lagebeziehung auf
daLnn letzteres Element auch wieder gemeinsamem Träger auch einals Element des ein e Gebildes auf- facher nur von einemn Gebilde
gefaßt, so wird ihm im allgemeinen auf diesemr Träger, dessen Elestets zugeordnet sein ein drittes Ele- miente unter sich in der ebenment des gemeinsamen Trägers als Ele- genannten Weise zugeordnet oder
ment des anderen Gebildes. Ucnd nur wennl involutorisch gepaart seien.
dieser zweite Schritt in der verwandt- Diese Art der Zuordnung der
schaftlichen Zuordnunci g nicht zu eineml beiden Gebilde bezw. innerhalb des
dritten Element des gemeinsamen Triägers, einen Gebildes nennt man Invosondern jedesmal wieder zum gleichen lution oder kurzweg auch nur
ersten Element desselben zlückftirt, - Paarung, auch wohl Spiegelung.
dann hat man die involutorische Be- Die Involution besteht demnaeh
ziehung. eigentlich nur unter g l e i c h -
artiogen Gebilden, doeh nennt
Erkl. 174. Iii der,allgemeinen Auf- Gefassung besteht die involutorische Be- mn a nl char e
bilde dann involutorisch verwandt,
ziehung zwischen Gebilden jeder Art: enn as ee vou ei
werm das eine von ihnen zu einenm
Punktreie und r ktreilbe Strahlen- anderen g icartigen
mi t domn anderen gleihartigen
biischel iund Strlalenbiischel, Punktreihe nd it jee involutorisch verund Strahlenblischel, Ebenelnbiischel iund w dten Gebilde sich in perspelEbenenshel, Ebenenbiischel ud Punkt- tivischer Lage befindet bezw. in
reile, Ebenenbiselhel und Stralenbüschel diese Lage gebracht werden kann.
zwei ebenen Systemen, zwei Strahlenbiindeln, einem ebenen System und einem
Strahlenbindel. Von besonderer Bedeutiung werden aber nur die leiden ersten
Fälle, auf welche, wie bei der allgemeinen Projektivität selber, aucl alle anderen
zurlickgefiihrt werden können.
Frage 50. Was versteht man demnach unter einer involutorischen Antwort. 1) Unter einer invoPunktreihe oder einem involu- lutorischen Punktreihe versteht
torischen Strahlenbischel? man eine Punktreihe t, deren Punkte
Sacels, Projelktivisci e (neuiere) Geom etrie. III. Teil. 7