Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 12. Das Jacobi'sche Kriterium. 73
Aus diesen Annahmen, die für die ganze weitere Untersuchung
des vorliegenden Problems festgehalten werden sollen, folgt, nach allgemeinen Sätzen ) aus der Theorie der Differentialgleichungen, daß
die Extremale eo aus dem allgemeinen Integral der Euler'schen
Differentialgleichung abgeleitet werden kann, indem man den Integrationskonstanten a, ß spezielle Werte: a == a, p =- o erteilt, so daß also
g(x, oO, lo) = Y(x) in [x1x2], (22)
und daß sich eine positive Größe d so klein annehmen läßt, daß die
Funktion g(x, a, i) in dem Bereich:
X1, x X2, cca- [ d, P- ßo <d (23)
folgende Eigenschaften besitzt:
1. Die Funktionen g, g' -g- g" g'- g sind als Funktionen der
drei Variabeln x, a, ß von der Klasse C' im Bereich (23).
2. Für jedes a, ß im Bereich
Ca- o\d, ß-P <d (24)
genügt g(x, a, j3) als Funktion von x im Intervall [X1X2] der
E u 1 er'schen Differentialgleichung.
3. Die Kurve
y =g(x, c, ), Xß X x< X,
liegt für jedes a, ß des Bereiches (24) ganz im Innern des Bereiches 9{
und es ist
fyy, (X g(x,, ), g'(x, c, 3)) > 0 (25)
im Bereich (23).
4. Die Funktionaldeterminante
1(g, g') 0 (26)
im Bereich (23).
Dies vorausgeschickt, erhalten wir nach JACOBI auf folgende
Weise zwei partikuläre Integrale der Differentialgleichung (9): Substituieren wir in der Euler'schen Differentialgleichung für y das
allgemeine Integral g(x, a, ß), so erhalten wir:
fy(x, g( x, c, A)) - fy, g'(x, - (x, y(x, g, a), g, ))= 0.
1) Um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, verschieben wir eine eingehende Besprechung dieser Sätze und ihrer Anwendung auf die Euler'sche
Differentialgleichung auf später (~ 24). Vorläufig mag der Leser die genannten
Eigenschaften des allgemeinen Integrals g(x, a, p) statt als Folgerungen aus
früheren Annahmen als neue selbständige Annahmen betrachten.