Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

72 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Beispiel I (Siehe pp. 1, 33, 59): f=y/1 + y'\.
Aus den auf p. 59 gegebenen Werten von P, Q, R erhält man für die Jacobi'sche
Differentialgleichung:
d2u 2 Th x -f, du 1
dx2 ~ ~a dx + 2
Zwei partikuläre Integrale dieser Differentialgleichung sind:
u -Sh s — PO~ U Ch — X — Po Shx-_P
0:~o ao (^ 0 o
und hieraus ergibt sich
A(x, x1) = Sh v Ch v- - Sh v h Ch v + (v- v,) Sh v Sh vl,
wobei zur Abkürzung
x - o x, - -o
ao ca
gesetzt ist. Auf die Diskussion der sich hieraus ergebenden transzendenten
Gleichung für die Bestimmung von xi werden wir weiter unten näher eingehen 1)
(p. 80).
b) Der Jacobi'sche Fundamentalsatz über die Integration der
Jac ob i'schen Differentialgleichung:
Nach dem Vorangehenden ist es zur Entscheidung über das Vorzeichen der zweiten Variation erforderlich, die Jacobi'sche Differentialgleichung zu integrieren; dies kann praktisch auf große Schwierigkeiten führen, ja die weitere Diskussion überhaupt unmöglich machen.
Daher ist die Entdeckung JACOBI's2) von fundamentaler Bedeutung, daß das allgemeine Integral der Jacobi'schen Differentialgleichung stets durch bloße Differentiationsprozesse erhalten werden
kann, sobald das allgemeine Integral g(x, a, ß) der Euler'schen
Differentialgleichung (I) bekannt ist.
Dazu müssen wir zunächst einiges über die Eigenschaften der
Funktion g(x, ac, ß) vorausschicken.
Wir haben bereits in ~ 9 die Annahme eingeführt, daß unsere
Extremale
(0y: y - (x), X< x < x
im Innern des Bereiches 3R liegt, und daß für sie die Bedingung
B(x)= fyy,(x, "(x", (x))>0, in [xlx2], (II2)
erfüllt ist.
1) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 2-12, 35-40 am Ende von Kap. III.
2) in der schon mehrfach zitierten Abhandlung vom Jahr 1837, siehe p. 60,
Fußnote 1).