Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

70 Zweites Kapitel. Die zweite Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Fall I1: x< > x2, oder xi existiert nicht,l) mit andern Worten:
A(x, x,) +0 für x <xx <. (21)
In diesem Fall gibt es stets Integrale der Jacobi'schen Differentialgleichung, welche im ganzen Intervall [x x2] von Null verschieden sind.
Zum Beweis betrachten wir neben dem Integral A(x, x,) dasjenige Integral A(x, x2) der Jacobi'schen Differentialgleichung,
welches in x2 verschwindet; beide sind linear unabhängig, da nach
Voraussetzung
(x2, x,) + O, während A(x, x,) = 0.
Daher folgt nach dem Sturm'schen Satz aus (21), daß
A(x, x2) + 0 für x x < x2,
also, da A(x, x2) stetig in [XLX,], auch noch in dem Intervall
[x1 - J, xj, wo 6 eine hinreichend kleine positive Größe ist. Wählen
wir jetzt xo zwischen x1 - und x1, und größer als X1, so sind
auch die beiden Funktionen A(x, x0) und A(x, x2) linear unabhängig, da
A(xo, O)- 0, (xo,, ) + 0,
und eine nochmalige Anwendung des Sturm'schen Satzes, diesmal auf
die beiden Integrale A(x, x.) und A(x, x2), ergibt das Resultat,2) daß
A (X, Xo) 0 für x < x2.
Somit können wir, indem wir u = A(x, xo) wählen, die zweite
Variation auf die Form (11) transformieren, und erhalten so den Satz:
wirklich berechnet (Schlömilch's Zeitschrift, Band XXII (1877) p. 327). Er
findet in der Bezeichnung von ~ 13
3J= - s3R(x') ((x', ac) (PaX, ao); (20)
_R(x) und pa(x`, ao) sind stets von Null verschieden: und paa (x', ao) ist gleichfalls von Null verschieden, außer wenn die Enveloppe der Schar (32a) eine
Spitze in Pi hat oder in einen Punkt degeneriert. Mit Ausnahme dieser beiden
Fälle ist also Jacob i's Resultat richtig.
1) Man kann den Fall, wo x' nicht existiert, in der Ungleichung: x > x2
mit einbegreifen, wenn man für diesen Fall, d. h. also wenn A (x, x)=+ 0 für
x, < x< X2, definiert: xi == X2, wie es GOURSAT (Cours d'Analyse Mathedmatique
(Paris 1905), II, p. 601) tut.
2) Man kann dasselbe auch aus dem folgenden Lemma ableiten, das auch
sonst gelegentlich nützlich ist: Es sei X1 < a < X,, und d' die zunächst auf a
folgende Wurzel der Gleichung A(x, ) =0, falls eine solche in [ X2] existiert,
dagegen t' = X, wenn A (x, e) 4= 0 in d < x < X,. Dann läßt sich leicht zeigen,