Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

8t* Anhang.
(aber so, daß f(x) endlich bleibt), so ist die neue Funktion in [ab] wieder integrabel und der Wert des Integrals
f(x) dx
ändert sich nicht.
Vgl. D. 353; Pi. 365.
4. Ist f(x) endlich und integrabel in [ab], so ist die Funktion
x
F(x) = ff(x) dx
stetig in [ab].
In den Punkten, wo f(x) stetig ist, ist F(x) differentiierbar und es ist
F'(x)= f(x).
In den Punkten, wo f(x + 0), resp. f(x- 0), existiert, existiert auch die
-vordere, resp. hintere, Derivierte von F(x) und es ist
F'(x) =f(x + 0), resp. F'(x) == f(x- 0).
D. 365-369; E. 99; Pi. 368, 369: V. 171.
5. Partielle Integration: Sind u(x) und v(x) von der Klasse C' in [ab], so ist
b b
r dv - r mb - du d
M u dx - \uvx- v- d x
J dx L aJ dx
Dua a
Vgl. E. 101; Pi. 384; V. 175.
6. Erster Mittelvertsatz: Es seien P(x), p(x) endlich und integrabel in
[ab], und es sei P(x)> 0 in [ab]. Alsdann ist
b b
P(x) t (x) d= x P(x) dx,
a a
wo Et ein Mittelwert zwischen der unteren und der oberen Grenze von t(x) in
[ab] ist.
D. 363; E. 97; Pi. 366; V. 168.
7. Differentiation nach einem Parameter: Wenn die Funktion f(x, a) stetig
ist im Bereich
a < c < b, < a <, (2)
und a und b von cc unabhängig sind, so ist das bestimmte Integral
b
F(a) = J(x, ) dx
a
eine stetige Funktion von a in [ca0 ac].