Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII. 693
14. Unter allen Flächen von gegebener Begrenzung und gegebenem Flächeninhalt diejenige zu bestimmen, deren Potential in Beziehung auf einen gegebenen
Punkt ein Extremum ist (bei Zugrundelegung des Newton'schen Anziehungsgesetzes).
Lösung: Die Extremalflächen haben die charakteristische Eigenschaft, daß
in jedem ihrer Punkte
I 1 d
J -+;. — ~'
Ql '2 r2+2"r3
Darin bedeutet r den Abstand des Flächenpunktes P von dem angezogenen
Punkt; d den senkrechten Abstand des angezogenen Punktes von der Tangentialebene an die Fläche im Punkt P; l die isoperimetrische Konstante.
(JELLETT)
15*. Die Gleichgewichtsfigur einer homzogenen Flüssigkeit in einem Gefäß
mit vertikaler zylindrischer TWandung unter der Einwirkung der Schwere und der
Kapillarkräfte zu bestimmen (~ 79, d), ~ 80, c)).
Lösung: Die positive z-Achse werde vertikal nach oben gewählt; der
Boden des Gefäßes sei eine horizontale Ebene, welche wir zur x, y-Ebene wählen.
Es bezeichne V das Volumen der Flüssigkeit, H die Höhe des Schwerpunktes
derselben über dem Boden des Gefäßes, ferner T den Inhalt desjenigen Teiles
der Oberfläche der Flüssigkeit, welcher die Wand berührt, U den Inhalt des
freien Teiles der Oberfläche, welcher entlang der Kurve S an die Wand grenzen
möge; endlich seien a, ß zwei von dem Verhältnis der Schwere zur Intensität
der Kapillarkräfte abhängige Konstanten.
Alsdann ist die Gleichgewichtslage der Flüssigkeit nach GAuss ) dadurch
charakterisiert, daß der Ausdruck
VH+ (c - 2g2)T+ a2 U (74)
ein Minimum wird mit der Nebenbedingung, daß das Volumen V einen vorgeschriebenen Wert haben soll, während die Kurve S nur der Beschränkung unterworfen ist, auf dem gegebenen Zylinder zu liegen.
Betrachtet man zunächst Variationen, bei welchen 2 ungeändert bleibt, so
bleibt T konstant und man hat ein isoperimetrisches Problem, wie das in ~ 79, d)
behandelte. Man erhält als charakteristische Eigenschaft der freien Oberfläche
die Relation (LAPLACE)
1 1 z+Z
Q+ e c2 ' (75)
Qi Q2 a
wo X die isoperimetrische Konstante bedeutet.
Bei Variationen, welche die Kurve 2 ändern, ist auch das einfache Integral
T zu berücksichtigen. Eine leichte Modifikation der in ~ 79, c) und d) durchgeführten Schlüsse führt auf das Resultat (LAPLACE, GAuss), daß entlang der Kurve 2. t
sin -
2 a
1) Werke, Bd. V, pp. 55, 290, wo die Aufgabe für beliebige Gestalt des Gefäßes durchgeführt wird. Vgl. auch KNESER, Lehrbuch, pp. 274, 280, wo die Aufgabe in Parameterdarstellung behandelt wird.