Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zu Kapitel XI bis XIII.
1*. Bestimmung der geodätischen Linien des Rotationsellipsoides im n-dimensionalen Euklidischen Raqum (~ 68).
Es handelt sich darum, das Integral
t2
J =JV^t2+ 22+...*+ x dt
tl
zu einem Minimum zu machen mit der Nebenbedingung
x +x+. + x,
a2 +r- + ~=
1+ 1.
a b2
Lösung: Setzt man
ds2 dx2 + dx2 + + dx,
so erhält man für die Extremalen
k2 X2 a2 - b2 a2
/d xn'2 a 2 b22 a2 b2
ds +a2 _ b2 2 - b2 2
- 4 Xn f 1 b4 aJ
wobei k eine Integrationskonstante und i der Multiplikator ist. Die Funktionen
x, x2,..., x _ genügen sämtlich derselben homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
d2xi xi
= d i=- 1, 2,..., n -l;
ds2 a2
man kann sie daher durch zwei linear unabhängige Integrale x, y dieser Differentialgleichung homogen und linear ausdrücken, und zwar kann man die
letzteren so wählen, daß
2 + 2 + + + X Y22
1. 2+ - y
womit das Problem auf das entsprechende dreidimensionale zurückgeführt wird.
(RUDIo)
2. Geodätische Linien des n-dimensionalen Raumes. 1)
Im Raum Rn der Variabeln x", x2,..., xx sei die Länge einer "Kurve"
i = Xi(t), t < t t = 1, 2, * *., n,
definiert durch das bestimmte Integral
t2
J ( dtx)
1j Vl i/a x,, (xx di) )
t i, k c
1) Vgl. BIANCHI-LUKAT, Differentialgeometrie (1899), p. 568.