Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

678 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
Es fragt sich nun, ob man die Funktion v so wählen kann, daß
das hierin auftretende Linienintegral von Null verschieden ist. Wäre
dasselbe für alle zulässigen Funktionen v gleich Null, so würde durch
eine leichte Modifikation des Fundamentallemmas von ~ 5, b) und
~ 79, a) folgen, daß der Faktor von v unter dem Integralzeichen entlang üo identisch verschwinden müßte, d. h.
( dy dx\s /> dy dx\
[pP f ds f~ ds) + f ds ~ ds) =0.
Gleichzeitig folgt durch Differentiation der Identität
u (x(s), y(s)) = 0
nach s, daß entlang der Kurve So auch
dx x dy
ds + dsy
d- s+ ds by = O.
Es müßte also entweder
f (dy\)2 2fp^ d_ + f dx)2-0
{ \ds]- P ds ds + fqqds
sein, was wegen der Voraussetzung (II') nicht möglich ist; oder aber
es müßten uz, uy entlang Ro identisch verschwinden.
Nun folgt aber, wie wir weiter unten näher ausführen werden,
unter sehr allgemeinen Voraussetzungen aus dem gleichzeitigen Verschwinden von u, ux, uy entlang der Begrenzung ko, daß u 0 im
ganzen Bereich L0, was unserer Voraussetzung widerspricht.
In allen Fällen, in denen der Schluß auf das identische Verschwinden von u gestattet ist, können wir daher in der Tat v so
wählen, daß der Faktor von k1 in dem Ausdruck (50) für 62J von
Null verschieden ist. Alsdann können wir aber 62J< 0 machen,
indem wir k numerisch hinreichend klein und von geeignetemn Vorzeichen wählen. Damit ist (unter der erwähnten, noch näher zu formulierenden Einschränkung) der Satz bewiesen:
Die dritte notwendige Bedingung für ein Minimum des Doppelintegrals (2) besteht darin, daß keine Lösung u der partiellen Differentialgleichung (46) existieren darf, welche entlang einer einfachen, geschlossenen, ganz im Innern des Bereiches gC gelegenen Kurve 'o
verschwindet und in dem von derselben begrenzten Bereich Oo von der
Klasse C" ist und nicht identisch verschwindet.
Wir haben jetzt noch den Beweis1) des Hilfssatzes nachzutragen,
1) Vgl. Encyklopädie II A, pp. 513, 515 (SOMMERFELD) und HEDRICK, Göttinger
Dissertation (1901), p. 32.
Eine homogene lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung
A l / + z2u 2 Bu l +u u
A + 2B + C -+D-+E +Fu=O (51)
ax" a xcy by2 ax ay