Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 81. Die zweite Variation bei Doppelintegralen. 677
entlang o verschwindet; sie verschwindet auf der Begrenzung von Lc
und ist in jedem der beiden Bereiche (Co und C - -Co von der
Klasse C".
Um den Wert der zweiten Variation für diese spezielle Funktion g zu berechnen, zerlegen wir zunächst 62J in eine Summe von
zwei Integralen, den beiden Teilbereichen (oX und ( - (Co entsprechend. Das auf den zweiten Bereich bezügliche Integral hat den
Faktor k2. Auf das über den Bereich (lC zu erstreckende Integral
wenden wir die Transformationsformel (44) an. Beachtet man dabei,
daß die Operationen vF, Qs, 2 distributiv sind, ferner, daß die
Funktion u der Differentialgleichung (46) genügt und entlang So verschwindet, so erhält man den folgenden Wert für die zweite Variation
2J^- -2k ffu (v)dxdy
ao (47)
+ E2k [(fPx + fquy)dy - (fPqx + fqquy) dx] + 62k211,
wo EH eine von k unabhängige Konstante ist.
Das Doppelintegral transformieren wir jetzt mittels der folgenden,
leicht zu verifizierenden Identität, welche für irgend zwei Funktionen u, v
der Klasse C" gilt,
t(v) _- V (u) G (ft + f) y (t + f) (48)
a ( ~ ) f29~), (48)
wo wir zur Abkürzung gesetzt haben
uM v -vu-==, uVy- vU= r.
Integriert man diese Gleichung über den Bereich (SC und wendet den
G r e e n'schen Satz an, so erhält man
f(u (v)-vW(u))dxdy=-[(fpp +fqdy-f + dx (49)
0o
Ist nun insbesondere, wie in Gleichung (47), u eine Lösung von
(46), welche entlang Mo verschwindet, so folgt durch Anwendung von.(49), daß das Doppelintegral in (47) gerade gleich dem in derselben
Formel auftretenden Linienintegral ist, sodaß der Ausdruck für &2J
die Form annimmt
B'J s=2 ( [(, + s v()g d (/q ) d + 72}, (50)
wenn wir auf der Kurve Ro den Bogen s als unabhängige Variable
einführen.