Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 80. Doppelintegrale in Parameterdarstellung. 665
Wir fragen zunächst: Unter welchen Bedingungen ist der Wert
des Integrals (18) von der Wahl der Parameter unabhängig und nur
von der Fläche S abhängig? Eine den Entwicklungen von ~ 25,b)
genau parallel laufende Schlußweise, bei welcher man von dem Satzl)
über die Einführung neuer Variabeln in ein Doppelintegral Gebrauch
zu machen hat, führt ohne Schwierigkeit zu dem Resultat2):
Soll der Wert des Doppelintegrals (18) bei jeder zulässigen Parametertransformation invariant bleiben, so ist notwendig und hinreichend,
daß die Funktion F in dem oben angegebenen Bereich ihrer Argumente
die Relation
F(x, x x,.^ + Xt x" x"X+ -) KV- (x, xF(x, 'xX*-,XX -Um^) (19)
für jedes Wertsystem der konstanten x, l,, v erfüllt, für welches
xv- -A > O.
Dabei gehen die nicht hingeschriebenen Argumente aus den hingeschriebenen durch zyklische Vertauschung der Buchstaben x, y, z hervor.
Differentiiert man die Identität (19) der Reihe nach nach x, A,
v, v und setzt nach der Differentiation: x =, =0, t = 0,, v =1,
so erhält man die folgenden Identitäten:
~2Fx x=F, Fx - = 0,20
FX -, = O, ~Fx =F,
wobei die Summation sich auf eine zyklische Vertauschung der Buchstaben x, y, z bezieht.
Führt man auf einer in der Form (1) gegebenen Fläche durch eine den
Bedingungen einer zulässigen Parametertransformation genügende Transformation
x x (uv, ) y = y(, mv)
die Parameter u, v ein, so wird
Zu -=px + qyu, Zv =px + qye,
also
A B
— C' -- C
daher geht nach den Regeln für die Einführung neuer Variabeln in ein Doppelintegral das über die Fläche genommene Doppelintegral (2) in ein Integral von
der Form (18) über, in welchem
F-_f y, C ' —)c.
1) Vgl. z. B. SERRET, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, Bd. II,
(1899), p. 271.
2) Zuerst gegeben von KOBB, loc. cit. p. 68.