Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

662 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
entlang der Kurve R verschwinden, während die Größen s, sl Konstanten sind, welche der Gleichung
K(e, 1) = g(x, yZ, z,, ) dx dy = (14)
genügen. Die Funktion
J(, E) -Afff( y,, Z, Z, Z ) dx dy
muß dann an der Stelle e = 0, e = 0 ein Extremum mit der Nebenbedingung (14) besitzen. Indem man genau wie auf p. 458, Fußnote 1) weiter schließt, erhält man das Resultat, daß die gesuchte
Fläche der partiellen Differentialgleichung
h- a h-y (15)
genügen muß, wobei
h = f + g
und X eine Konstante ist. Ausgenommen ist wieder der Fall, wo die
Fläche zugleich Extremalfläche für das Integral K ist.
Für den unter c) betrachteten speziellen Fall variabler Begrenzung
lautet hier die Grenzgleichung:
h dy h dx ~
%_ —hq~7 =0.!Pds ~dx
Beispiel XXXI: Unter allen Flächen, welche von einer gegebenen geschlossenen Kurve 2 begrenzt werden und zusammen mit dem die Kurve 2 auf die
x, y-Ebene projizierenden Zylinder und dessen Basis in der x, y-Ebene ein gegebenes Volumen einschließen, diejenige zu bestimmen, welche den kleinsten
Flächeninhalt besitzt.
Hier hat man das Integral
J —=y i -p +q dxdy
zu einem Minimum zu machen mit der Nebenbedingung
f fzdxdy a3.
Es ist also
h=- I+ +p2q2 +z,
woraus sich die partielle Differentialgleichung 1) ergibt
(1 + q2)r - 2pqs+ (1 +- p)t
(j/i +p + q2\)S
Nach (12) drückt dieselbe aus, daß die Extremalflächen Flächen konstanter
mittlerer Krümmung sind.
1) Schon von LAGRANGE gegeben (1760), Oeuvres, Bd. I, p, 356.