Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

654 Dreizehntes Kapitel. Extrema von Doppelintegralen.
so stellt die Gleichung
z = z(x,y) + S(x,y), (x,y) in X (4)
bei hinreichend kleinem 1s eine Schar von zulässigen Variationen
der Fläche 50o dar. Daher muß die Funktion
J(6) ==fJf(x, Y, + En, zx + 6 zy z +:y)dxdy
für = 0 ein Minimum besitzen, es muß also1)
6J 8 ff (Lf + f + fqy) dxd O
sein, wobei die Argumente in den Ableitungen von f sich auf die
Fläche 5o beziehen. Nun ist aber2)
-fi =' sft- f = a f a
und nach dem Green'schen Satz3) ist
a (dxd pgdy j~ J I, dxdy= dfg,. xdd f day dxdy k ak
wobei die Linienintegrale auf der rechten Seite im entgegengesetzten
Sinn des Uhrzeigers über die Kurve R zu erstrecken sind, wenn, wie
wir stets voraussetzen, die positive y-Achse links von der positiven
x-Achse liegt. Auf diese Weise erhalten wir für die erste Variation
den Ausdruck
J ff fJ- z- f<JTfq) dxdy + 8f~(fdy -fqdx) (5)
1) Wegen der Differentiation eines Doppelintegrals nach einem Parameter
vgl. JORDAN, loc. cit. Nr. 83.
2) Diese der partiellen Integration von ~ 5, a) entsprechende Transformation
der ersten Variation rührt von LAGRANGE her, die Einführung des Linienintegrals
von GAuss (1830), Werke, Bd. V, p. 60. Dabei' ist von der vorausgesetzten Existenz
und Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen von z Gebrauch gemacht. Will
man nur die Existenz und Stetigkeit der ersten Ableitungen voraussetzen, so hat
man analog wie in ~ 5, c) zu verfahren; mit dieser Verallgemeinerung der DuBois-Reymond'schen Methode beschäftigen sich HILBERT, Mathematische
Annalen, Bd. LIX (1904), p. 166; MAsoN, Ibid. Bd. LXI (1905), p. 450; HADAMARD,
Comptes Rendus, Bd. CXLIV (1907), p. 1092. Vgl. unten Beispiel XXX.
3) Vgl. z. B. STOLZ, Grundzüge, Bd. III, p. 94.