Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 78. Mayer'sche Extremalenscharen. 649
Dabei wird angenommen, daß die spezielle Extremale o0 im Punkt
P1 von transversal geschnitten wird. Die Hyperfläche A sei wieder
gegeben in der Form
x = e(b1.., bn), y, = (bl,.., bn).
Durch den Punkt (b) derselben ziehen wir zunächst eine beliebige
Extremale, die wir in der Normalform von ~ 72, c)
Yi i(x; i,;ln, n, J, C1,' Cn)
ansetzen. Dann ist nach (114) die Bedingung dafür, daß diese Extremale von der Hyperfläche R in ihrem gemeinsamen Schnittpunkt
transversal geschnitten wird:
I(e,, c) '- ab = 0, k = 1, 2,...,, (115)
abti, A, a, bÄ
da nach Gleichung (136) von ~ 72
k (t; 1, 1, ", * n 2 * 2 C.) = Ce.
Da nach Voraussetzung die Hyperfläche R die Extremale eo in P1
transversal schneidet, so werden die n Gleichungen (115) befriedigt
durch das spezielle Wertsystem bz = b?, c = c -- v((xl). Daher können
wir dieselben in der Umgebung dieser Stelle eindeutig nach c,..,cn
auflösen, wofern an derselben die Funktionaldeterminante der Auflösung von Null verschieden ist. Erinnert man sich, daß nach (88)
yi - a
so erhält man für die fragliche Funktionaldeterminante nach einfachen
Determinantensätzen die Determinante n + ten Grades
|1, ^yl(xjl), y2 () x,), yn (x,)
\ako /an \ /(a 2 a7o (116)
(k =, 2,..., n).
Wir können also den Satz aussprechen:
Wenn die Determinante (116) von Null verschieden ist1), so läßt
sich stets eine und nur eine, die Extremale eo enthaltende n-parametrige
Extremalenschar konstruieren, welche von der Hyperfläche S transversal
geschnitten wird.
1) D. h. geometrisch: Wenn die Hyperfläche t im Punkt P, die Extremale
e0 nicht berührt.