Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

646 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Damit die Ausdrücke für die partiellen Ableitungen der Funktionen
W(x, y,..., y) dieselbe einfache Form (81) annehmen wie bei einer
Schar von Extremalen durch einen festen Punkt, ist notwendig und hinreichend, daß die zugrunde liegende Extremalenschar eine Mayer'sche
Schar ist, und daß die Ausgangshyperfläche für die Funktion W eine
Transversalhyperfläche des Feldes dieser Schar ist.
Weiter folgt nun unmittelbar die Verallgemeinerung des Kneserschen Transversalensatzes für das Lagrange'sche Problem1):
Zwei Transversalhyperflächen, und l",~ eines von einer Mayerschen Schar gebildeten Feldes schneiden auf den verschiedenen Extremalen
der Schar Bogen aus, welche für das Integral J denselben konstanten
Wert liefern, nämlich den Wert c" - c'.
Denn es ist nach der Definition der Funktionen U und d:
(b;c")
(x, Y, Y')dx = ((b; c '); a,, u ((b; c'); aO bb )
5 (b; c')
=-G(t (b; cG"), ) - G( (b; c'), ) = c- c'.
Hieraus folgt weiter: Wird als Ausgangshyperfläche bei der Definition der Funktion W eine.Transversalhyperfiäche des Feldes gewählt,
so sind die Transversalhyperflächen identisch mit den Hyperflächen
W(x, y 2.. y,) = konst. (110)
Kombiniert man dieses Resultat mit dem unter a) bewiesenen
Satz, daß der Hilbert'sche Unabhängigkeitssatz für ein beliebiges
Mayer'sches Extremalenfeld gilt, so erkennt man, indem man genau
wie in ~ 41, Ende, schließt, daß der Weierstraß'sche Fundamentalsatz
(84) seine Gültigkeit behält, wenn das Feld statt von einer Extremalenschar durch einen festen Punkt von einer beliebigen Mayer'schen
Schar gebildet wird, und die Vergleichskurve ( statt vom Punkt P1
von einem beliebigen Punkt der durch P1 gehenden Transversalhyperfläche Z des Feldes ausgeht.
Damit hat man zugleich hinreichende Bedingungen für die Aufgabe gewonnen, das Integral J mit den Nebenbedingungen pa = 0 zu
einem Extremum zu machen, wenn der erste Endpunkt auf der Hyperfläche S frei beweglich, dagegen der zweite fest ist.
c) Zusammenhang mit der Transversalitätsbedingung:
Um die Analogie der im vorangehenden entwickelten Theorie
mit den entsprechenden Untersuchungen von Kneser für den ein1) Hierzu die Ubungsaufgabe Nr. 9 am Ende von Kap. XIII.