Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

642 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Hierin setze man die Ausdrücke für die Ableitungen von U1(x)
aus Gleichung (146) von ~ 73 ein und beachte, daß nach (94)
_ai reel+ v i raiCl
abk LabiJ Lacji Ab,
und nach (95) und nach Gleichung (142) von ~ 72
Fn (ao, Y(a0), Y'(ao), x(a^o))= - k(a, b,..., b)- C,.
Dann erhält man
Ab 1 i(-2 Y YZ, A,) ab + Mk' (97)
wo Mk die folgende Funktion von b,..., b, ist:
1M = - C a[- ()]. (98)
Geht man jetzt zur Funktion W(x, yx,..., y) über, indem man
von der Definitionsgleichung (92) und von den durch Differentiation
der Identitäten
Yi.(x; b * b ) j= yi
folgenden Relationen Gebrauch macht, so erhält man1)
a - f (, yi, ) -2S F + i, yp, Y) +- Z (M) a,
)i i ()(99)
Yk -Fn +k (x, y, _P, ).- (Mi) yk,
i
wobei die Klammer () die Substitution von b6 für bi andeutet.
Hieraus folgt: Soll der Differentialausdruck (90) ein vollständiges
Differential sein, so ist notwendig und hinreichend, daß auch der
Differentialausdruck
cZxz (M) + I.y a Yk (i)a
il ax a Yk
i k i
ein vollständiges Differential ist. Die Integrabilitätsbedingung, welche
die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ausdrückt, reduziert sich nach einfacher Rechnung auf die Bedingungen2)
- a\ M a?lfe
\_bk -\b abiJ'
1) Vgl. die entsprechenden Entwicklungen in ~ 73, c).
2) Man erhält zunächst
ti kabr ) (l b))i ibk O für ti,v =,1,2,.,n; y=X.
i, k