Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 78. Mayer'sche Extremalenscharen. 639
und daher würde folgen -ci Cu, einer Konstanten, deren Wert sich
aus x = x, als c? ergibt. Das bedeutet aber nach (86), daß (- (o.
Es ist also in der Tat A J> 0 für jede von eo verschiedene Vergleichskurve Z, welche ganz in der Umgebung (Q) von (o gelegen
ist, vorausgesetzt, daß Q so klein gewählt wird, daß (9) ganz im
Innern von oS liegt.
~ 78. Mayer'sche Extremalenscharen.
Im vorangehenden Paragraphen haben wir den Hilbert'schen
Unabhängigkeitssatz für den speziellen Fall von n-parametrigen Extremalenscharen durch einen festen Punkt bewiesen. Im gegenwärtigen
Paragraphen soll dieser Satz nun auf allgemeinere n-parametrige Extremalenscharen ausgedehnt werden. Es wird sich dabei das Resultat
ergeben, daß der Hilbert'sche Unabhängigkeitssatz und seine Folgerungen beim allgemeinen Lagrange'schen Problem nicht für beliebige
n-parametrige Extremalenscharen gilt, sondern nur für eine ganz bestimmte spezielle Klasse solcher Scharen, die wir nach ihrem Entdecker,Mayer'sche Extremalenscharen" nennen werden.
a) Die allgemeinste Form des Hilb ert'schen Unabhängigkeitssatzes:
Es sei )
vi =-(-,... *, bn)y i V(x, bx,..., bj) (87)
eine beliebige n-parametrige Schar von Lösungen der kanonischen
Differentialgleichungen
dy, bH dv, _ H (88)
dx -a-v@, dx y
von. ~ 72, welche unsere spezielle Lösung
Yi yi(x), vi- vi(x)
enthält, und zwar für bi- b. Diese Schar möge ein Feld eo um den
Extremalenbogen eo liefern; die inversen Funktionen des Feldes bezeichnen wir mit
bi - bi(x Yl,..., Yn),
die Gefällfunktionen und Multiplikatoren des Feldes mit
Pi(, Y', Y* * n) - y (x 1, * *, ~n),
(~L(x,,..., yn,) = ÄA(x, b,... ),
1) Die Zeichen Yi, Vi, A1, bi usw. haben hier also eine allgemeinere Bedeutung als in ~ 77.
41*