Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

636 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
geliefert werden. Dieselben genügen den Gleichungen
Yi(x, ci,.., c) = y (76)
identisch im Bereich S und umgekehrt ist
ci (X, Y2..., n )= ei, (77)
identisch im Bereich cC.
Als Gefällfunktionen des Feldes bezeichnen wir die n Funktionen
Pi (X, y ', y n) Y, (X.c cn); (78)
dieselben genügen den m Gleichungen
wq (x, y, p) = (79)
identisch in den Variabeln x, Yi,..., yn. Dies folgt aus den identisch
in x, c,..., ce gültigen Gleichungen,~ (X, Y, Y)= o,
wenn man darin ei durch ci ersetzt.
Ferner verstehen wir unter den Multiplikatoren des Feldes die
Funktionen 1)
(x, y,..., y) = A( (x, c,..., c,). (80)
Endlich verstehen wir unter dem Feldintegral das Integral J, genommen vom Punkt Ao bis zum Punkt P (x, y,..., y,) des Feldes
entlang der eindeutig definierten Feldextremalen, welche diese beiden
Punkte verbindet. Wir bezeichnen dieses Integral mit W(x, y1,.., Y),
sodaß in der Bezeichnung von ~ 73, c)
W(x, y1, 1.., ( ) = s$ (ao b,;o x, y.,, y. ).
Daher können wir die Ausdrücke für die partiellen Ableitungen des
Feldintegrals unmittelbar aus den allgemeinen Formeln (158) von
~ 73 entnehmen; wir erhalten so unter Berücksichtigung der Definition der Funktionen p, und j;"
-W f (x, y, P) - p iFP n+i (x, y,p, ),2
AW ~ (81)
-a = F + k (x, y, p,, ).
ayk
Hieraus folgt unmittelbar der Hilbert'sche Unabhäingigkeitssatz
für das Lagrange'sche Problem2):
1) Die Funktionen SL haben natürlich mit den in ~ 76, b) eingeführten,
ebenso bezeichneten Funktionen nichts zu tun.
2) Für den allgemeinen Fall zuerst bewiesen von A. MAYER, loc. cit. p. 140;
für die speziellen Fälle n = 2, m =- 0, und mn = 2, n = 1 schon vorher von
sNADESCHDA-GERNET, Göttinger Dissertation 1902, pp. 21 und 63.