Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 76. Die zweite Variation. 633
es ein konjugiertes System, dessen Determinante in einem Teilintervall
[1 s] von [xlx2] von Null verschieden ist, so ist
A(f~ l) + 0
für je zwei den Ungleichungen: e l V' < ~ ", genügende Werte l', ".
Daran schließt sich der folgende, zuerst von v. ESCHERICH1) bewiesene Satz:
Ist, ein beliebiger Punkt des Begularitätsintervalls der Extremalen *o:
x* <.~ < x,
und ist die Bedingung (IIf) in der Umgebung des Punktes ~ erfiiüllt,
so hat die zum Punkt e gehörige Mayer'sche Determinante A(x, &)
in ~ einen isolierten Nullpunkt.
Denn nach Absatz d), Ende, können wir stets ein konjugiertes
System: z, r1;...; z', rn konstruieren, dessen Determinante V(zl,..., zn)
im Punkt e von Null verschieden ist. Wegen der Stetigkeit der
Funktion V läßt sich dann ein Intervall [S - 6, - + 6] angeben, in
welchem auch noch V + 0. In diesem Intervall kann daher die
Funktion A(x, e) nur den einen Nullpunkt e besitzen, weil sich
sonst ein Widerspruch mit dem vorangehenden Satz ergeben würde.
Dieser Satz ist deshalb von ganz besonderer Wichtigkeit, weil
ohne ihn die ganze Theorie der konjugierten Punkte in der Luft
hängt; denn so lange nicht festgestellt ist, daß der Punkt x, ein isolierter Nullpunkt der Funktion A(x; xl) ist, kann man gar nicht von
dem zunächst auf x, folgenden Nullpunkt dieser Funktion, und daher
auch nicht von dem zu P1 konjugierten Punkt sprechen. Der Satz
bildet daher eine unentbehrliche Ergänzung des in ~ 75 gegebenen
Beweises für die Notwendigkeit der Bedingung (III), der erst jetzt
als vollständig erbracht angesehen werden kann.
Endlich gilt noch der folgende Satz,2) von dem wir später Gebrauch zu machen haben werden:
Ist für den Extremalenbogen (o die Bedingung (II) erfüllt, und ist
A(x, x) =+0 für x1<X x2, (III')
1) Wiener Berichte, Bd. CVIII, p. 1299. Wir haben zwar bereits früher
hervorgehoben, daß alle in diesem Kapitel abgeleiteten Sätze nur unter den
Voraufsetzungen A) bis D) von ~~ 72 und 74 bewiesen sind, wollen dies aber
hier nochmals wiederholen und ganz besonders betonen, daß gerade dieser Satz
nur im,~Hauptfall" richtig ist.
2) Nach A. MAYER, 0lo. cit. p. 259 und C. JORDAN, Cours d'Analyse, Bd. III,
Nr. 393.