Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

620 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
dabei eine wichtige Ergänzung unserer bisherigen Entwicklungen ergeben, insofern der in ~ 75 ohne Beweis benutzte Satz über das Verschwinden der Funktion A (x, x,) seine Erledigung finden wird.
a) Vorbereitungssatz über die zweite Variation:
Wir halten an den Voraussetzungen A) bis D) von ~~ 72 und 74
über die Extremale o0 fest. Dann gilt auf Grund der Voraussetzung
D) das,Ergänzungslemma" von ~ 69, e) für jedes Teilintervall des
Integrationsintervalls [xlx,]. Daher können wir jedes Stück [,te2]
des Extremalenbogens ~o für sich variieren, und zwar können wir
zu jedem System von Funktionen 7i, welche in [2] ] von der Klasse
C" sind, in el und 42 verschwinden und den m Differentialgleichungen
— y' % + 0 )w (41)
~i Yi
genügen, eine einparametrige Schar von zulässigen Variationen
yi= (x, )
des Bogens [tt2] der Extremalen eo konstruieren, für welche
' yi =ri
Für diese Schar muß nun im Fall eines Minimums
ö2J O 0 (42)
sein; gleichzeitig folgt aus den Gleichungen: qP (x, Y/, ')= 0, daß
(6dp = 0.
Daher können wir die Ungleichung (42) auch schreiben
62J+.A2Sp Ö (dx >0,
wo die A, die zur Extremalen (S gehörigen Lagrange'schen Multiplikatoren von ~ 69, c) sind. Wie bei der analogen Untersuchung
von ~ 60, a) fallen nun in dieser Ungleichung infolge des Bestehens
der Differentialgleichungen (I) die zweiten Variationen d2y, heraus, und
wir erhalten wie dort den Satz:
Im Fall eines Minimums muß das Integral
ö J= f.ez(,Pikc 2k + 2 Qik, + 2 Qki, k) dx ~ 0 (43)
sein für je wei den Ungei, chungen x genügende Werte k
sein für je zwei den Ungleichungen x, <, < x, < x genigende Werte ~x, 2