Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

614 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
Da ferner die Funktionen ck nicht sämtlich konstant sein sollen,
so muß die Determinante des Gleichungssystems (28) verschwinden,
d. h. es muß
D(X, C..., C): 0 (29)
sein. Diese Gleichung sagt aus, daß der Berührungspunkt P3 ein zu
P1 auf der Extremalen Fi konjugierter Punkt (im weiteren Sinn)
sein muß. Wir betrachten insbesondere den Fall, wo der Beriihrungspunkt der Extremalen eo mit ~ der konjugierte Punkt im engeren
Sinn, P>, ist, also
xi=.
Dann folgt aus (29) nach der am Ende von Absatz a) gemachten
Bemerkung unter der Voraussetzung (22), daß
für alle Werte von a in der Nähe von %c.
Gibt man dem x (a) diesen Wert, so ist es möglich, den Gleichungen
(28) durch Werte der Größen c5 (a) zu genügen, welche nicht sämtlich null sind, und zwar sind die Verhältnisse dieser Größen durch
die Gleichungen (28) eindeutig bestimmt. Denn wegen der Voraussetzung (22) sind die Subdeterminanten des Koeffizientensystems dieser
Gleichungen nicht sämtlich gleich Null, da
Dxq,..) -Dik a
i, k
wenn Dk die Subdeterminante des Elementes cYi/Cck in der Determinante D bedeutet. Es sei z. B.
[Dn] + 0 (30)
für a -= a und daher auch in einer gewissen Umgebung von o%.
Dann ergibt die Auflösung von (28)
k 9 ()- [DIJ. (31)
Den Proportionalitätsfaktor Q dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 1 annehmen, da wir dies durch Einführung eines
passenden neuen Parameters an Stelle von a stets erreichen können.
Die Gleichungen (31) stellen nunmehr ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung in der Normalform dar, welche
zusammen mit den Anfangsbedingungen (232) nach dem Cauchy'schen
Existenztheorem von ~ 23, a) die Funktionen 6k(c) eindeutig be