Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

610 Zwölftes Kapitel. Lagrange'sches Problem. Fortsetzung.
gibt sich aus der Descartes'schen Regel ein sehr einfaches Mittel,
um zu entscheiden, ob die Bedingung (II') erfüllt ist: Man ordne die
ganze Funktion G (9) nach absteigenden Potenzen von 9; alsdann
müssen die Koeffizienten der so erhaltenen ganzen Funktion abwechselnde Vorzeichen haben.
~ 75. Die Kneser'sche Theorie der konjugierten Punkte beim
Lagrange'schen Problem.
Wir werden in diesem Paragraphen nach dem Vorgang von
KNESER den Enveloppensatz von ~ 44, c) und ~ 62,d) auf den Fall
des Lagrange'schen Problems ausdehnen und daraus die der Jacobischen Bedingung entsprechende Bedingung (III) ableiten., Wir halten
dabei an den Voraussetzungen A) bis D) von ~~ 72 und 74 über die
Extremale o fest.
a) Definition des konjugierten Punktes:
Wir gehen aus von der Betrachtung der Gesamtheit) der Extremalen durch den Anfangspunkt -P,(xl, y,,, Y, y) des Extremalenbogens (o. Dieselbe bildet eine n-parametrige Schar, die sich nach
den Resultaten von ~ 72, c) mittels der Funktionen i) in der folgenden
Normalform darstellen läßt:
Yi = (x; xl, y11, ',, * el..', Cn* * ) Y (x, cl,, c., ), (15)
mit cq,, c, als Parametern. In der Tat ist nach Gleichung (136,)
von ~ 72
Yi(xcl, >... cn) = -i (16)
woraus sich durch Differentiation nach ck ergibt
a Y. xi
C =. (17)
Die Schar (15) enthält die Extremale @o und zwar in der Bezeichnung von ~ 72, Gleichung (122), für:, = () -( e (., C n = v(X,) -=
sodaß also
-___ _ Yi (x, c=,. *, O) i (x).
1) Streng genommen handelt es sich nur um Extremalen, die zu solchen
Lösungen der Differentialgleichungen (I) gehören, welche nur wenig von der
Lösung (119) von ~ 72 abweichen. Daß die Gleichungen (15) alle diese Extremalen
darstellen, folgt daraus, daß nach Gleichung (143) von ~ 72 die Determinante
api/lbk y von Null verschieden ist.