Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 74. Analoga der Bedingungen von Weierstraß und Legendre. 607
sein fiir jedes x im Intervall [xlx2] und für jedes endliche Wertsystem
P*..., jP, welches den Bedingungen
9P1 (x, y (~x\), 0 (9)
genügt, und fiir welches der Punkt (x, y(x),p) im Innern des Bereiches
( liegt und mindestens einer Determinante m ten Grades der Matrix (3)
einen von Null verschiedenen Wert erteilt.
b) Die Olebsoh'sche Bedingung:
Aus der Weierstraß'schen Bedingung läßt sich nun leicht die
der Legendre'schen entsprechende Bedingung (II) ableiten.l)
Dazu müssen wir zunächst den folgenden Hilfssatz beweisen:
Es sei S1,:,..., 2 irgend ein System von Größen, welche den
m Gleichungen (10)
2^ -0 2j~~~=o(10)
genügen. Alsdann kann man stets n Funktionen i(e) bestimmen,
welche in der Umgebung der Stelle - = 0 von der Klasse C" sind,
für beliebige, hinreichend kleine Werte von Isl den m Gleichungen
(Pxp(~SYY(XS()) = 0 (11)
und den Anfangsbedingungen
genügen. ( =0, (0 ) = (12)
Die Argumente von S(p~/-y' sind dabei (x,y(x),y'(x3)).
Zum Beweis definieren wir zunächst
Pm +r() = Yn+r(X3) + m+r.
Dann können wir nach dem Satz über implizite Funktionen die m
Gleichungen
99 (xs, Yi,(3),..., y(x3), ji,. Y, ~mm+(E), *jn (,~)) = 0
in der Umgebung des Wertsystems - = 0, p, = y' (x3),...,^ =Y ym(x)
eindeutig nach p...,. auflösen. Denn die Gleichungen werden
durch dieses spezielle Wertsystem befriedigt, und die Funktionaldeterminante der Auflösung ist nach (1) von Null verschieden. Wir erhalten daher eine Lösung -- =_i (a) der verlangten Art, von der nur
noch zu zeigen ist, daß sie auch der Bedingung (122) genügt. Differentiieren wir die in 8 identischen Gleichungen (11) nach e und setzen
dann e = 0, so erhalten wir
__ _ (0) k-/D+r by-f+rtm+r
1) Vgl. HAaN, loc. cit. p. 303. Der Beweis von Hahn ist übrigens durch
den hier gegebenen Hilfssatz zu ergänzen.
39*