Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 74. Analoga der Bedingungen von Weierstraß und Legendre. 605
von den dort angegebenen Stetigkeitseigenschaften bestimmen, welche mit den
Funktionen Ym r zusammen den m Differentialgleichungen
cp,(x, Y, Y') = o
und den Anfangsbedingungen
Ya(X, 0,..., 0) = 0, Yx()o,,. 1, * ) = y(Xo)
genügen.
Gelingt es nun, die Größen,..., an so als Funktionen von e zu bestimmen,
daß sie den n Gleichungen
Yi (x4,, ~,)=.. (X4) (5)
mit der Anfangsbedingung: = 0,..., n = 0 für = 0 genügen, so besitzt die
Kurve
y, = Y (x, 1 (~),..., * (8)) Yi( (x, 8)
alle verlangten Eigenschaften.
Eine solche Bestimmung der Ei ist nun aber in der Tat stets möglich.
Denn da nach der Konstruktion der Kurve (
yi(x8) = i (X3), (6)
so werden die Gleichungen (5) durch das Wertsystem s = 0, sr = 0,..., s-= 0
befriedigt, und überdies läßt sich zeigen, daß die willkirlichen Funktionen 7l, r
sich so wählen lassen, daß die Funktionaldeterminante der Auflösung von Null
verschieden ist. Zum Beweis bemerken wir zunächst, daß die durch die Gleichungen
definierten Funktionen k den Differentialgleichungen
und den Anfangsbedingungen
Na(Xo)= 0
genügen, woraus wie in ~ 69, b) folgt, daß die Funktionen k nur von den Funktionen r,+r mit demselben oberen Index abhängen und nach Wahl derselben
eindeutig bestimmt sind.
Da ferner nach unserer Voraussetzung D) die Extremale eo sich in Beziehung auf das Intervall [x x3] normal verhält, so folgt nach ~ 69, d), daß sich
die Funktionen im +r so wählen lassen, daß sie in x3 verschwinden, und daß
für die hiernach in der eben angegebenen Weise bestimmten Funktionen 717 die
Determinante
~^s)t + ~ (7)
Wählt man jetzt schließlich noch die Funktionen rm+f so, daß
+ r
77m + r () = r, '
runter örs wieder das Kronecker'sche Symbol verstanden, so reduziert sich die
B o 1 z a, Variationsrechnung. 39