Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 74. Analoga der Bedingungen von Weierstraß und Legendre. 603
D) Die Extremale eo soll sich in Beziehung auf jedes noch so
kleine Teilintervall [l e] des in ~ 72, b) definierten,Regularitätsintervalls"
x < x < x*
normal verhalten (~ 69, d)), d. h. das einzige System von m Funktionen il, Ä2,; *,,2 welche in [1, 2] von der Klasse C' sind und
den n linearen Differentialgleichungen
(p. a^ d 9PpA o i o
#J; P( 3yi dx -P - -
genügen, ist
-0, Z O,..., Z 0 0 in [~].
Wir drücken diese Voraussetzung nach v. ESCHERICH1) dadurch
aus, daß wir sagen, es soll der ~LHauptfall" des Lagrange'schen
Problems vorliegen.
In den Voraussetzungen A) bis D) ist enthalten, daß die Konstante 1Q von ~ 69 den Wert 1 hat, sodaß also in den Euler'-Lagrangeschen Differentialgleichungen
F = f Z ~_'2fgf
zu setzen ist.
a) Die Weierstraß'sche Bedingung2):
Zur Herleitung der Weierstraß'schen Bedingung wählen wir
auf der Extremalen o0 zwischen P, und P2 einen beliebigen Punkt P.
Es folgt dann aus der Voraussetzung C), daß im Punkt P3 mindestens
eine Determinante mten Grades der Matrix (43) von ~ 69 von Null
verschieden ist; es sei etwa
iie, DYt i n a. u, in e
Diese Determinante ist dann auch noch in einer gewissen Umgebung
des Punktes P, von Null verschieden. In dieser Umgebung wählen
wir auf eo und vor P3 einen Punkt Po. Wir ziehen dann durch Pg
eine beliebige Kurve
-~_______: yi =Yi (x)
1) Vgl. Wiener Berichte, Bd. CVIII (1899), p. 1290.
2) Zuerst von HAHN auf etwas anderem Wege abgeleitet, vgl. Monatshefte
für Mathematik und Physik, Bd. XVII (1906), p. 295; für den Fall endlicher Bedingungsgleichungen ist die Ausdehnung der Weierstraß'schen Bedingung auf das Lagrange'sche Problem schon vorher von RuDIo gegeben worden,
vgl. Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft zuZürich,
Jahrgang XLIII (1898), p. 340.