Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

600 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
Dies sind die lHamilton'schen Formeln in ihrer allgemeinsten Form.
Man kann denselben noch eine andere Gestalt geben, indem man mittels
der Gleichungen (154) statt der Funktionen t), f die Funktionen t
einführt. Macht man dabei noch von den Gleichungen (152) und
(155) Gebrauch, so erhält man
a - (,, ()),
() (159)
au H(a, b, ~),
3a
bk k 2
wo iH die durch die Gleichung (129) oder (129a) definierte Funktion ist.
Durch Elimination der Funktionen )k(t), resp. jk ergibt sich
hieraus der folgende Satz von HlIAMILTON1):
Das Extremalenintegral EB genügt jeder der beiden folgenden partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
(160)
B + ( 7 n 2 1n... 2., J - U
a~ -.~a( Dl., ab1' ' ' ~ ab x
Dies sind die beiden zum kanonischen System (131) gehörigen
Hamilton'schen partiellen Differentialgleichungen.
Aus der ersten derselben folgt, daß die partielle Differentialgleichung
a + Hu, g,..., _, -,.., -'a) = (161)
befriedigt wird durch die Funktion
z = (a, b,..., b.; t, Dv,..., n) + (162)
und zwar bei beliebigen Werten der Konstanten a, b..., bn' c.
Es läßt sich aber weiter zeigen, daß diese Funktion überdies ein
sogenanntes "vollständiges Integral"2) der partiellen Differentialgleichung (161) ist. Hierzu ist nach der allgemeinen Theorie3) der par1) HAMILTON, loc. cit.. 100. Hierzu die Übungsaufgabe Nr. 9 am Ende
von Kap. XIII.
2) Siehe z. B. GOURSAT, Letons sur l'integration des 6quations aux derivees
partielles du premier ordre (1891), Nr. 42.
3) Ibid. Nr. 44. Die Konstante a ist hierbei als eine numerische Konstante,,..., bn als variable Parameter aufzufassen.