Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 73. Die Hamilton-Jacobi'sche Theorie. 599
Endlich genügen die Funktionen ti nach (136) den Anfangsbedingungen
b,(a; a, b,, ) == S (a, b;, ). (155)
c) Die allgemeinsten Hamilton'schen Formeln:
W:r betrachten jetzt das Integral J, genommen entlang der soeben bestimmten Extremalen ( vom Punkt A nach dem Punkt P.
Dasselbe ist eine eindeutige Funktion der Variabeln a, b..., b,;
2, '"..., r L, die wir mit
S3(a, b1,..., b,; t,,..., B) oder kürzer e(a, b; t, V)
bezeichnen und das Extremalenintegral vom Punkt A nach dem Punkt
P nennen; dasselbe ist identisch mit HAMILTON'S1) "Principal Funetion".
Aus der Definition der Funktion U von ~ 73, a) folgt, daß
(a, b;, r)=U(a; a, b, ). (156)
Es sollen jetzt die partiellen Ableitungen der Funktion D3 berechnet werden. Zunächst folgt aus (156)
a- Z~ ac\ ) \a\ a i'
___ x 7au a J)
aCi '
aa (a) +z(8ci) aa
aS au\+ au\,i
abk ab. Z V ac} eicbk
wobei die Klammer () die in Absatz b) definierte Bedeutung hat.
Ersetzt man hierin die partiellen Ableitungen von U durch ihre
Werte (145) und (146) und macht von den Relationen (153) Gebrauch,
so erhält man nach einfacher Rechnung die folgenden Ausdrücke für
die partiellen Ableitungen des Extremalenintegrals
a = f(, U (), D'()) -.Zt(J) F4+ i(,tb (~>, b' (), 1(a)),,r =Fn + k( (ey r - 1&)n (158)
a'nk
a — = - f(a t(, t'(a) a)) +- (a) F + (a, t(a),ta' (a), (a)),
a = - Fn,(a, (a), '(a), (a)).
1) Philosophical Transactions, 1835, Part. I, p. 99.