Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 72. Existenztheoreme für Extremalen. 593
voraus, daß es von derselben Ordnung 2n ist wie das ursprüngliche
System (I), während das System (114) von der Ordnung 2n + m war.
Die Differentialgleichungen (128) haben aber die weitere wichtige
Eigentümlichkeit, daß sie ein sogenanntes ~kanonisches System" bilden.
Bezeichnen wir nämlich mit H(x,y,v) diejenige Funktion der unabhängigen Variabeln x, yl, *, y,, v,, v", in welche der Ausdruck..,(xFn+i y y' 2 ) - F(x, y, y, A)
durch die Substitution (124) übergeht, d. h. also, unter Berücksichtigung der Identitäten (125),
H(x, y, v) = vi Yi (x, y, v) - F(x, y, r(x, y,v), II(x, y, v)), (129)
so erhält man nach leichter Rechnung unter Benutzung der Identitäten (125) für die partiellen Ableitungen der Funktion H nach y.
und vk die Werte
= -- Fk(, My, Fx, ), nx, y, v)),
_ - kP (x, yv) (130)
Daher können wir die Differentialgleichungen (128) auch schreiben
dyi _ sH dvi _ _ 1
dx aviv dx (131)
und dies ist die charakteristische Form eines kanonischen Systems.
Die Funktion H kann man wegen (125) auch schreiben
H(x, y, v) ~= fv(i(x, y, v) - f(x, y, L(x, y, v)). (129 a)
i
c) Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten:
Unter Festhaltung der Voraussetzungen A), B), C) wenden wir
jetzt auf das System (128) den Einbettungssatz von-~ 24, b) an; dies
ist gestattet, da die rechten Seiten der Differentialgleichungen (128)
Funktionen der Variabeln x, y,.., y v.., vn sind, welche in einer
gewissen Umgebung der Lösung (127) von der Klasse C' sind. Sind
daher X1 X2 irgend zwei den Ungleichungen
xr < X, < x, x2 < x2 < x*
genügende Werte, so können wir eine positive Größe d so klein annehmen, daß die folgenden Sätze gelten:
Wählen wir a~ beliebig zwischen X, und X2 und setzen
y,(a0)= b, vi(a~) - c, (132)