Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

592 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
eindeutig nach y,..., yn, Al.., Am auflösen. Es gibt also n + m
Funktionen 1)
Yi-= i (xy, ), =- H (x, y, v), (124)
welche in einer gewissen Umgebung (6) der Punktmenge.: x < x < x2, y-= yi(x), i = vi (x)
eindeutig definiert und von der Klasse C' sind, in die Gleichungen
(123) eingesetzt dieselben identisch in (x, y, v) befriedigen:
F+(x, y, w(x, y, v), H(x, y, v)) v v 12,
()(X, y, (x, y, v)) O,
und überdies den Anfangsbedingungen genügen
1(x, y(x), (x)) = y(x), l(x, y(x), v(x)) = r(x) (126)
in [x1 x2].
Nach Voraussetzung ist nun
d
F+ i(x, y (x), y (x), A (x)) = F(, ( x), y ()(x), A (x)).
Unter Benutzung von (126) und (122) geht dies über in
dv" = F,(x, y(x, (x, y (x), v(x)), I(x, y(x), v(x))).
Berücksichtigen wir noch (1261), so können wir daher den Satz aussprechen:
Das Funktionensystem
yi = y(x), v-= vi(x), X1 < X < c 22 (127)
genügt dem System von Differentialgleichungen
d y_, (xy, - Fxi(x, y, (x, (y, )t n(X, y, v)). (128)
Umgekehrt folgt unmittelbar: Es seien i (x, y, v), HI (x, y, v)
n + m Funktionen der unabhängigen Variabeln x, y, -*, y,, v2 *, n v, von
den oben angegebenen Stetigkeitseigenschaften, welche den Identitäten
(125) und den Anfangsbedingungen (126,) genügen; ferner mögen die
Funktionen y (x), v, x) den Differentialgleichungen (128) genügen.
Definiert man alsdann die Funktionen Zs(x) durch (1262), so stellen die
Funktionen (119) eine Lösung des ursprünglichen Systems (I) dar.
Das System (128) ist wieder in der Normalform von ~ 23, a),
und zwar hat es vor der früheren Normalform (114) den Vorzug
1) Wir schreiben wieder
(x, y, v) statt (x 1. y, y,, v,.. v), ebenso
(x, y, n, ) statt (x, Y.,,..., H,..., L ).