Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

582 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
Da - — +-=, so folgt aus (91), daß für das Differentialgleichungssystem (89) und (93) die Bedingung (44) erfüllt ist. Somit
ist durch diese Bemerkung die ganze Aufgabe auf die frühere zurückgeführt. Dazu ist aber zweierlei zu bemerken: Einmal erhält man
auf diesem Wege nicht die Lagrange'sche Regel, sondern eine kompliziertere Regel; und zweitens wird man dabei, wenn q > 0, stets
auf den in ~ 69, d) erwähnten Ausnahmefall des anormalen Verhaltens
der Extremalen geführt.')
Deshalb schlagen wir einen anderen Weg ein. Zunächst ersetzen
wir allerdings die Gleichungen (90) durch die Differentialgleichungen
(93) und die Anfangsbedingungen (92), und verfahren nun genau wie
in ~ 69, bis zur Aufstellung der Gleichung (55):
j(2~? /0+ ä f t)dx + 1l, "(x2)- 0 (94)
xTI
worin die Größen 10, 11,..., I, Konstanten sind, welche von der Wahl
der Funktionen I.m+r(x) unabhängig sind, und welche nicht sämtlich
gleich Null sind.
Die in der früheren Weise bestimmten Funktionen
Yi-= Yi (,, 1, '' ', Em)
genügen aber nicht nur den in Differentialgleichungen
P (x, Y~., I~. Ye. ) = 0, (95)
sondern nach der oben gemachten Bemerkung mit Rücksicht auf die
Anfangsbedingungen
Y (X1, Si, j, E) = Yi (xi)
zugleich auch den q endlichen Gleichungen
- 4 (x, Y,.., Yn)=0. (96)
Durch Differentiation der p ersten Differentialgleichungen (95) und
der Gleichungen (96) nach s erhalten wir daher
( 27 + a )=0, (97). ali. - =0 O(98)
Wir multiplizieren jetzt die Gleichungen (97) mit unbestimmten Funk1) Vgl. dazu A. MAYER, Mathematische Annalen, Bd. XXVI (1886),
p. 80, Fußnote.