Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

580 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
schaft der gesuchten Kurve ableiten. Dazu differentiieren wir die erste der Gleichdv dX
ungen (84a) logarithmisch nach s und eliminieren -, -- mittels (85a). Dann
erhalten wir
d2x
g ' (v) ds O
v (v) dx dz
ds ds
Beachtet man, daß ) wegen y = 0
dx d2z dz d2x
ds ds ' ds r d s2
wo r den Krümmungsradius bezeichnet, so läßt sich die letzte Formel auch
schreiben: VR() d2z
vR (v) ds ~
r/' (v) g r -- 0.
Berechnet man andererseits nach den Regeln der Mechanik2) die Reaktion N
der Kurve, so findet man
v2 d2z
N= ----gr —.
r ds2
Daraus ergibt sich im Fall unserer Kurve eo für die Reaktion der Ausdruck:
rv - (uv vR' (v))
Derselbe nimmt eine besonders einfache Form an, wenn
(v) =k v,
nämlich N
r D 1
Für den Fall n = 1 ist daher N= 0, und man hat den Satz: Wenn der Widerstand der Geschwindigkeit proportional ist, so ist die Kurve größter Endgeschwindigkeit identisch mit der Kurve, welche ein freier materieller Punkt unter der Wirkung
der Schwerkraft im widerstehenden Mittel beschreibt.
~ 71. Die Multiplikatorenregel für den Fall gemischter
Bedingungsgleichungen. 3)
Die in ~ 69 entwickelte Methode läßt sich nicht unmittelbar auf
den Fall übertragen, in welchem einige der Bedingungsgleichungen
(5) endliche Gleichungen sind, da dann alle Determinanten mten
Grades der Matrix (43) verschwinden. Trotzdem gilt auch in diesem
Fall die Multiplikatorenregel.
1) Vgl. z. B. SCHEFFERS, Theorie der Kurven, pp. 30, 188.
2) Vgl. z. B. APPELL, Traite de Mecanique, Bd. I, p. 415.
3) Vgl. dazu BOLZA, Mathematische Annalen, Bd. LXIV (1907), p. 370,
wo auch der allgemeinste Fall variabler Endpunkte behandelt wird.