Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

568 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
selben folgt, wie Mayer weiter zeigt, als Endresultat die Multiplikatorenregel,
freilich mit anderen Multiplikatoren als den Lagrange'schen.
Der Lagrange'sche Beweis enthält aber noch eine zweite, weniger an der
Oberfläche liegende Lücke, auf die wir im Fall der isoperimetrischen Probleme
bereits hingewiesen haben. Erinnert man sich nämlich der Bedeutung des Variationsalgorithmus (~ 8), so erkennt man, daß derselbe in bezug auf das Bestehen
der beiden Gleichungen (32) und (58) nur zu folgendem Resultat führt. Ist
yis = Ys (x, Q) (69)
irgend eine Schar von zulässigen Variationen der Kurve eo, und setzt man
(70)
so müssen die Funktionen ri die Gleichungen (32) und (58) gleichzeitig befriedigen.
Die weitere Folgerung, daß die Gleichung (32) für alle in x, und x, verschwindenden Funktionen -i, welche den Differentialgleichungen (58) genügen, erfüllt
sein muß, entbehrt aber so lange der Begründung, als nicht das folgende "Ergänzungslemma" bewiesen ist:
Ist irgend ein System von Funktionen l, gegeben, welche in x, und x2 verschwinden und den Bedingungen (58) genügen, so gibt es allemal eine zugehörige
Schar von zulässigen Variationen (69), welche mit den gegebenen Funktionen rnl
durch die Gleichungen (70) verbunden sind.
Dieses Ergänzungslemma, das übrigens auch für die Behandlung der zweiten
Variation wichtig ist, ist nun in der Tat richtig, wenigstens wenn die Kurve e.
sich normal verhält, und kann im Anschluß an die unter a) und d) gegebeene
Entwicklungen mit Hilfe von Zusatz I leicht bewiesen werden.')
Diese zweite Lücke im Lagrange'schen Beweis ist erst von KNESER2) und
HILBERT 3) ausgefüllt worden.
Bei den bisher besprochenen Beweisen war die Existenz und Stetigkeit der
zweiten Ableitungen der Funktionen yi(x) vorausgesetzt. Eine Modifikation des
Kneser'schen Beweises, bei welcher von dieser Voraussetzung kein Gebrauch
gemacht wird und nur die Existenz und Stetigkeit der ersten Ableitungen vorausgesetzt wird, hat HAHN4) gegeben in Verallgemeinerung der Du-Bois-Reymond'schen Methode von ~ 5, c). Wendet man auf Gleichung (60) statt der
Lagrange'schen die Du-Bois -Reymond'sche partielleIntegration an, so erhält
man an Stelle der Gleichung (61) die folgende')
X2 X X
J /2(aylJ-J dx) rid +2 (x)* (d +J dx) =0. (71)>
xa i X1 a x a
1) Vgl. den entsprechenden Satz für isoperimetrische Probleme, p. 460, und
die analogen allgemeinen Entwicklungen von HAHN, Mathematische Annalen,
Bd. LVIII (1904), pp. 158-164.
2) Lehrbuch (1900), ~~ 56, 59.
8) Vgl. das Zitat auf p. 558, Fußnote 1).
4) Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. XIV (1902), p. 325.
5) Die Funktionen 7i haben hier wieder dieselbe Bedeutung wie unter a)
und b).