Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

562 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
p der Gleichungen (56) - es seien z. B. die p ersten - nach p der
Größen 1 auflösen und erhalten die letzteren als homogene lineare
Funktionen der übrigen n + 1 - p Größen 1 mit Koeffizienten, die
sowohl von der Wahl der Funktionen r77+r als von der Wahl der
Funktionen i -r~ mit dem oberen Index p + 1, p + 2, * *, m unabhängig sind. Jedes so erhaltene Wertsystem lo,,..., Im genügt dann
zugleich den übrigen m - p der Gleichungen (56), und zwar wie man
auch die Funktionen ri +r mit dem obern Index p + 1, p+ 2.., m
wählen mag. Daraus folgt aber, daß diese Werte der 1 zugleich auch
der Gleichung (55) genügen, da man ja z. B. n ' - wählen kann.
m + + whlen kann.
Das Resultat dieser Betrachtung ist, daß es stets möglich ist,
m + 1 numerische Konstanten 1o, 11, *,, zu bestimmen, welche nicht
alle gleich Null sind, und welche von der Wahl der n - m Funktionen
rjm+r unabhängig sind, derart daß die Gleichung (55) gilt, und zwar
für jede Wahl der Funktionen im+..
c) Die Lagrange'schen Multiplikatoren A:
Um aus dem letzten Resultat weitere Schlüsse zu ziehen, kombinieren wir die Gleichung (55) mit den m Relationen (58), indem
wir die letzteren nach LAGRANGE der Reihe nach mit unbestimmten
Funktionen A1 (x),..., Am (x) multiplizieren, dann zwischen den Grenzen
x1 und x2 integrieren und schließlich zu (55) addieren. Setzen wir
F o f + A S 9) p
so erhalten wir auf diese Weise
a y.iqi + )dx + A, a (X2) = ~. (60)
Das Integral transformieren wir in der bekannten Weise durch
partielle Integration und beachten dabei, daß sämtliche Funktionen
A (x) in x, und überdies die Funktionen il +,(x) auch in x2 verschwinden; so kommt:
aF^y d aF^ a7 i 'ST7 / \^F x,
f2(?7.-da1-)\ +^dx )7e (2) +lÄ=sO. (61)
by. dx aF' d xy )
xx i
Nunmehr bestimmen wir die m Funktionen A, durch die m Differentialgleichungen
()F d F *,an (6
ay - y F,,, 2..., m, (62)
y dx bay