Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 69. Der Fall von Differentialgleichungen als Nebenbedingungen. 561
wobei wegen (46) und (51) die Argumente der Ableitungen von qpa sind:
x, y1 (x),.. n (X), yn (X),.., Yn (X)
Die Gleichungen (59) für einen gegebenen oberen Index ß und
für ae= 1, 2, *., m lassen sich, nachdem die Funktionen lm+, +, * E
gewählt sind, als ein System von m Differentialgleichungen für die
Funktionen Ö -,.., rA auffassen, und zwar sind diese m Funktionen
wegen (44) durch die m Differentialgleichungen zusammen mit den
m Anfangsbedingungen
(: )-o,...., (X,) =
vollständig bestimmt. Obgleich also die Funktionen Y, (x, E,,..., Em)
selbst von der Wahl der sämtlichen (m + 1) (n - m) Funktionen:
+~ (x), y + r(x) abhängen, so sind doch die Funktionen r (x) nur
von der Wahl der n- m Funktionen ^+r (x) mit demselben oberen
Index p abhängig. Ebenso sind die Funktionen,(x) nur von der
Wahl der n - m Funktionen rlm+r (X) abhängig.
Da ferner
x2
bi a)r (f a + f )
X, i
so folgt dann weiter, daß auch (a[) nur von der Wahl der Funktionen i +(x) mit dem oberen Index ß abhängig ist.
Für die weitere Diskussion des Gleichungssystems (56) setzen wir
jetzt zunächst voraus, daß die (n - m) m Funktionen r+ so gewählt
werden können, daß mindestens eine der mn + 1 Determinanten mten
Grades, die sich aus dem Koeffizientensystem der Gleichungen (56)
bilden lassen, von Null verschieden ist. Alsdann bestimmen diese
Gleichungen die Verhältnisse I~: 1:. *.: l eindeutig, und zwar sind
diese Verhältnisse von der Wahl der n - m Funktionen rm+r(x) unabhängig und genügen dann im Fall eines Extremums stets auch der
Gleichung (55).
Sind dagegen jene Determinanten mter Ordnung sämtlich gleich
Null, wie auch die Funktionen +rf gewählt sein mögen, so möge
p der Rang des Koeffizientensystems der Gleichungen (56) sein in dem
Sinn, daß alle Determinanten (p + 1)ten Grades verschwinden, und
zwar für jede Wahl der Funktionen wr+, während es möglich
sein soll, diese Funktionen so zu wählen, daß mindestens eine Determinante pten Grades von Null verschieden ist. Alsdann können wir