Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

556 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
ohne Nebenbedingungen zu einem Minimum zu machen, woraus sich
die Differentialgleichungen der Bewegung in der Form
a (-3 + ~C2) d b 0
0, -- 2,... r
a4, ()q.~ dt q
ergeben.
e) Beispiel XXIV: Die Jacobi'sche Form des Prinzips der
kleinsten Aktion:')
Es sei wie im vorigen Beispiel ein System von n materiellen
Punkten gegeben, welche m Bedingungsgleichungen unterworfen sind:
TPa = 0, e =-1, 2,..., m, (38)
und auf welche gegebene Kräfte wirken, welche eine Kräftefunktion U
besitzen.
Darüber hinaus machen wir jetzt aber die weitere Annahme, daß
sowohl die Bedingungsgleichungen als die Kräftefunktion die Zeit t nicht
explizite enthalten. Wir benutzen dieselbe Bezeichnung wie unter d),
insbesondere sollen AÄ und AÄ wieder die Anfangs- und Endlage bei
der wirklichen Bewegung bezeichnen.
Unter einer mit den Bedingungen des Systems verträglichen
~Bahn" verstehen wir irgend eine Kurve
Xvs= x(), y= y() z = z1j) 0 r, = 1,2,...,
im 3n-dimensionalen Raum der Variabeln xy, y,,, z.,, dargestellt durch
einen beliebigen Parameter r, welche den Bedingungen (38) für beliebige Werte von r genügt. Nunmehr betrachten wir das folgende
Variationsproblem:
Unter allen mit den Bedingungen des Systems verträglichen Bahnen,
welche das System aus der Anfangslage A0 in die Endlage A, führen,
diejenige zu bestimmen, welche fiir das,Aktionsintegral"
J==fl/2(U+h) i/Z.~m,(x2 <+ y +$ Z- +
~E0 ' v
den kleinsten Wert liefert.
Dabei ist h eine Konstante, die für alle zulässigen Kurven denselben Wert hat, und die Akzente bedeuten Differentiation nach r.
Dies ist ein Lagrange'sches Problem in Parameterdarstellung
mit endlichen Nebenbedingungen und festen Endpunkten. Wir schreiben
zur Abkürzung (X2 + y +
1) Vgl. JAcoBT, Werke, Suppl. p. 43; auch APPELL, Traite de Medcanique, Bd. II,
p. 426; ferner die auf p. 586, Fußnote 3), angegebene Literatur, sowie die Übungsaufgaben Nr. 9-14 zu Kapitel V.