Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

554 Elftes Kapitel. Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.
d) Beispiel XXIII: Das Hamilton'sche Prinzip:')
Es sei Mi,, MI,..., Mn ein System materieller Punkte. Die Masse
des Punktes MX sei mi, seine Koordinaten zur Zeit t seien x, y, z";
die Bedingungsgleichungen des Systems seien
S, = o.. = i.., m. (38)
wobei die Funktionen qp. von den Koordinaten der Punkte M/ und
der Zeit abhängen. Auf die Punkte des Systems wirken Kräfte, welche
eine Kräftefunktion besitzen, d. h. es gibt eine Funktion U der Koordinaten und der Zeit, derart daß
axV ) a yyy f az
wenn X, Y~, Z, die Komponenten der auf den Punkt XM, wirkenden
Kraft bezeichnen. Endlich werde mit T die lebendige Kraft des
Systems bezeichnet, also
rr --- 1 V t2 2
T= m (xQ 2 + y`+ + ),
wobei der Akzent Differentiation nach der Zeit t bedeutet.
Unter der Wirkung dieser Kräfte wird das System bei gegebenen
Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten der Punkte M] eine bestimmte Bewegung ausführen, dargestellt durch
= 0t), y2 = >,(t), = z 0 =
Dabei möge sich das System zur Zeit to in der Lage Ao, zur Zeit t,
in der Lage A, befinden.
Wir betrachten jetzt die Gesamtheit aller möglichen Bewegungen
= V (0;, y = y0(t), s = 2(t),
welche mit den Bedingungen (38) des Systems verträglich sind, und
bei welchen das System zur Zeit to und zur Zeit t, dieselben Lagen Ao,
resp. A" einnimmt wie bei der wirklichen Bewegung.
Unter all diesen zulässigen Bewegungen soll diejenige bestimmt
werden, bei welcher das Hamilton'sche Integral
J=f(T + U)dt
to
den kleinsten Wert annimmt.
Über die Funktionen <9, U, x, y, z werden die der allgemeinen
Theorie entsprechenden Stetigkeitsannahmen gemacht.
1) Wegen der Literatur vgl. Encyklopädie IV 1 (Voß), Nr. 42.