Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 68. Der Fall endlicher Bedingungsgleichungen. 553
Es muß im F'all eines Extremums m stetige Funktionen Z (x) geben,
welche zusammen mit den Funktionen y (x) den n Differentialgleichungen
aF d ayF =o (36)
ayi dx ay'i
genügen, wobei: F= f +- SaCp
c) Beispiel III1):
Die kürzeste Linie zu bestimmen, welche auf einer in der Form
C (x, y, z) = (37)
gegebenen Fläche zwischen zwei auf der Fläche gegebenen Punkten gezogen
werden kann.
Wir nehmen der Symmetrie und der größeren Allgemeinheit halber die zulässigen Kurven in Parameterdarstellung2) an. Dann haben wir das Integral
t2
J f x'2 + ~ yz2 + \dt
mit der Nebenbedingung (37) zu einem Minimum zu machen.
Da hier
F == /x"'+y'2 + + +,
so lauten die Differentialgleichungen der gesuchten Kurve
d x'
x ' dty 2 - y2 + '\ ~ '
d
I(pY — o
d y
Y dt 1/y tX + y", + Z
d z'
dtX/ 2+y2 z + Z -
Dieselben lassen sich auch schreiben
d2x d'y d2z
ds2 - T ' ds2 y, ds2 ',
ds
wenn man den Bogen s einführt und X = -d setzt.
dt
Diese Gleichungen drücken die charakteristische Eigenschaft der geodätischen Linien aus, daß in jedem ihrer Punkte die Hauptnormale der Kurve mit
der Normalen der Fläche zusammenfällt.3)
1) Vgl. p. 5 und Beispiel XVI, p. 209.
2) Dies ist auf die unter a) und b) durchgeführten Schlüsse ohne Einfluß;
nur sind die erhaltenen Differentialgleichungen nicht voneinander unabhängig,
vgl. unten ~ 70, d).
3) Hierzu die Übungsaufgabe Nr. 1 am Ende von Kap. XIII.