Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 67. Gewöhnliche Extrema mit Nebenbedingungen. 547
wobei zur Abkürzung m
F- f+ZX a, -- F()
a=l exi
gesetzt ist, und die Ni wieder unendlich kleine Funktionen von h,
2,.., h, bedeuten.
Die Ungleichung (17) muß ebenfalls für alle den Bedingungen
(10) und (10a) genügenden Werte von h7, h2, h, bestehen.
Jetzt bestimmen wir die bisher unbestimmt gelassenen Größen
1 2 *...,A m aus den m Gleichungen
E('(al a(, **, an)- f() (, a2 *, an, ) +.2~ (, (al, a2., *a)-= 0,
cz=l
( =, 2,..., m),
was nach (12) stets möglich ist. Dann geht (17) über in
n-m n
hr,+rF(n+r) (al, a, * *.. an) +2hi, i > 0.
r=l i=1
Drückt man hierin die Größen h, h2,... hm, mittels (13) und (14)
durch h.+n, h,4+2,..., 'h aus, so erhält man
n-m
hm+r, [F (m+r)(ai, a2,... an) + ~m+ r] 0,
r=l
wo nunmehr die Größen gm+r unendlich kleine Funktionen der unabhängigen Variabeln hm+i,..., h,n sind, und diese Ungleichung muß für
alle numerisch hinreichend kleinen Werte dieser Größen bestehen.
Hieraus folgt aber wie in der Theorie der Extrema ohne Nebenbedingungen, daß
F(m+r) (al, a2..., an) =
sein muß für r= 1, 2, * *., n - m.
Die Voraussetzung, daß mindestens eine Determinante mter Ordnung der Matrix (11) von Null verschieden ist, war beim Beweis
wesentlich; wir wollen den Fall, in dem sie erfüllt ist, den,Hauptfall" nennen. In dem ~Ausnahmefall", wo alle Determinanten mter
Ordnung der Matrix (11) gleich Null sind, folgt aus der Theorie der
linearen Gleichungen, daß sich m Größen n i, 2,... >;m nicht alle
null, so bestimmen lassen, daß
ia q() (a, a2, a') =
für i-1, 2,..., n. Indem man nach HILBERT eine Größe A= -1
für den Hauptfall, o= 0 für den Ausnahmefall definiert, kann man
beide Fälle in den Satz zusammenfassen: