Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Elftes Kapitel.
Die Euler-Lagrange'sche Multiplikatoren-Methode.1)
~ 66. Allgemeiner Uberblick.
Indem wir uns nunmehr allgemeineren Problemen der Variationsrechnung zuwenden, bemerken wir zunächst, daß die in ~~ 4 und 5
für den einfachsten Typus von Aufgaben entwickelten Methoden zur
Ableitung der Euler'schen Differentialgleichung sich ohne weiteres
auf Probleme übertragen lassen, bei welchen das Integral, welches zu
einem Extremum zu machen ist, höhere Ableitungen von y enthält,
also von der Form ist
x2
J- f(x, y, y,..y, ())dx. (1)
x1
Hier findet man für die Differentialgleichung des Problems2):
f _ d ~d2 < ~..-1)nna of dn a=
a f d + - - -+ (_ _" 0.(2)
ay dx ay' dx2 y" dx-n ayf )
Dasselbe gilt für Aufgaben, bei denen mehrere unbekannte Funktionen von x und ihre ersten Ableitungen unter dem Integral vorkommen, wo es sich also um ein Integral von der Form
X2
J J7-(X, i y21 *j * n, yn, l, * *..., yn)dx (3)
X,
handelt. Hier erhält man das System von n Differentialgleichungen3)
f-dz 'f, -1,20 i- 2 ~ ~ n. (4)
b yi dx cy';
Wesentlich neue Schwierigkeiten treten erst bei Problemen mit
Nebenbedingungen auf. Der wichtigste Typus derselben wird durch
1) Wie schon KNESER betont hat, hat EULER so wesentlichen Anteil an der
Entdeckung dieser Methode, daß es nicht gerechtfertigt erscheint, dieselbe nach
LAGRANGE allein zu benennen, wie dies gewöhnlich geschieht (siehe LEncyklopädie
I A, p. 580).
2) Vgl. die Ubungsaufgaben Nr. 43-47 p. 152.
3) Hierzu die Ubsungsaufgabe Nr. 2 am Ende von Kap. XIII.